Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14323
2020-10-19 
На непроводящий стержень, изогнутый под углом $90^{ \circ}$, нанизанны бусинки равных масс, несущих заряд противоположных знаков $Q$ и $q$. В начальный момент бусинки неподвижные и находятся на расстоянии $d$ и $2d$ от вершины угла. Трение отсутствует. Их отпустили. Где окажется вторая бусинка в момент, когда ближайшая дойдет до вершины угла? Определите скорость бусинок в тот момент, когда расстояние между ними $d$.
Решение:
Считайте, что система находится в горизонтальной плоскости, или проигнорирует силу притяжения. Тогда бусинки двигаться только под действием кулоновских сил.
Определите ускорение этих тел, для этого используем второй закон Ньютона в проекциях на оси:
$OX: F_{к} \sin \alpha = ma_{x}$.
$OY: F_{к} \cos \alpha = ma_{y}$.
Разделим эти уравнения одно на другое:
$\frac{a_{x} }{a_{y} } = tg \alpha = \frac{1}{2}$,
следовательно, $a_{y} = 2a_{x}$.
Вторая бусинка имеет ускорение вдвое больше, чем первая. Это означает, что при движении корость во первой бусинки $v_{1} = a_{x}t$ всегда вдвое меньше, чем второй $v_{2} = a_{y}t$. За равные произвольные промежутки времени первая бусинка всегда проходить путь вдвое меньше, чем вторая $2x_{1} = y_{1}$. Это означает, что во время движения углы треугольника сохраняются:
$tg \alpha = \frac{d}{2d} = \frac{d - x_{1} }{2d - y_{1} } = \frac{d - x_{1} }{2d - 2x_{1} } = \frac{1}{2}$.
Итак, бусинки одновременно попадут в вершину прямого угла. Определите скорость бусинок, когда расстояние между ними равно $d$. Запишем закон сохранения энергии для начального и этого момента времени:
$W_{1} = W_{2} + \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$,
но $v_{2} = 2v_{1}$,
и $W_{1} = - k \frac{qQ}{ \sqrt{d^{2} + 4d^{2} } }, W_{2} = - k \frac{qQ}{d}$
- соответственно начальное и конечное взаимодействие зарядов (заряды притягиваются, следовательно, знаки их различны, а энергии - отрицательны).
$-k \frac{qQ}{5d} + k \frac{qQ}{d} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} = \frac{5mv_{1}^{2} }{2}$.
отсюда $v_{2} = 2 \sqrt{ \frac{qQ ( \sqrt{5} - 1 ) }{ 10 \sqrt{5} \pi \epsilon_{0} md } }$
$v_{2} = 2 \sqrt{ \frac{qQ ( \sqrt{5} - 1 ) }{10 \sqrt{5} \pi \epsilon_{0} md } }$.
На непроводящий стержень, изогнутый под углом $90^{ \circ}$, нанизанны бусинки равных масс, несущих заряд противоположных знаков $Q$ и $q$. В начальный момент бусинки неподвижные и находятся на расстоянии $d$ и $2d$ от вершины угла. Трение отсутствует. Их отпустили. Где окажется вторая бусинка в момент, когда ближайшая дойдет до вершины угла? Определите скорость бусинок в тот момент, когда расстояние между ними $d$.
Решение:
Считайте, что система находится в горизонтальной плоскости, или проигнорирует силу притяжения. Тогда бусинки двигаться только под действием кулоновских сил.
Определите ускорение этих тел, для этого используем второй закон Ньютона в проекциях на оси:
$OX: F_{к} \sin \alpha = ma_{x}$.
$OY: F_{к} \cos \alpha = ma_{y}$.
Разделим эти уравнения одно на другое:
$\frac{a_{x} }{a_{y} } = tg \alpha = \frac{1}{2}$,
следовательно, $a_{y} = 2a_{x}$.
Вторая бусинка имеет ускорение вдвое больше, чем первая. Это означает, что при движении корость во первой бусинки $v_{1} = a_{x}t$ всегда вдвое меньше, чем второй $v_{2} = a_{y}t$. За равные произвольные промежутки времени первая бусинка всегда проходить путь вдвое меньше, чем вторая $2x_{1} = y_{1}$. Это означает, что во время движения углы треугольника сохраняются:
$tg \alpha = \frac{d}{2d} = \frac{d - x_{1} }{2d - y_{1} } = \frac{d - x_{1} }{2d - 2x_{1} } = \frac{1}{2}$.
Итак, бусинки одновременно попадут в вершину прямого угла. Определите скорость бусинок, когда расстояние между ними равно $d$. Запишем закон сохранения энергии для начального и этого момента времени:
$W_{1} = W_{2} + \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2}$,
но $v_{2} = 2v_{1}$,
и $W_{1} = - k \frac{qQ}{ \sqrt{d^{2} + 4d^{2} } }, W_{2} = - k \frac{qQ}{d}$
- соответственно начальное и конечное взаимодействие зарядов (заряды притягиваются, следовательно, знаки их различны, а энергии - отрицательны).
$-k \frac{qQ}{5d} + k \frac{qQ}{d} = \frac{mv_{1}^{2} }{2} + \frac{mv_{2}^{2} }{2} = \frac{5mv_{1}^{2} }{2}$.
отсюда $v_{2} = 2 \sqrt{ \frac{qQ ( \sqrt{5} - 1 ) }{ 10 \sqrt{5} \pi \epsilon_{0} md } }$
$v_{2} = 2 \sqrt{ \frac{qQ ( \sqrt{5} - 1 ) }{10 \sqrt{5} \pi \epsilon_{0} md } }$.
