ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-10-19   
Какую силу нужно приложить человеку, чтобы передвинуть на другое место груз, если коэффициент трения человека об пол и груза на пол одинаков и равен $\mu = 0,866$? Масса человека $m = 100 кг$, масса груза $M = 300 кг$.


Решение:


Определите минимальную силу, которую прикладывает человек. Условие смещение груза - это равенство сил вдоль оси ОХ:

$T \cos \alpha = \mu (Mg - T \sin \alpha )$, отсюда $T = \frac{ \mu Mg}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha }$. (1)

Определите угол $\alpha$, при котором $T$ принимает минимальное значение. Для этого проанализируем знаменатель выражения (1). Найдем производную знаменателя по $\alpha$ и приравняем ее к нулю.

$( \cos \alpha + \mu \sin \alpha )^{ \prime} = - \sin \alpha + \mu \cos \alpha = 0$, следовательно $tg \alpha = \mu$. (2)


Подставив (2) в (1), определим минимальное значение $T$:

$T_{min} = \frac{ \mu Mg}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$. (3)

Последняя формула справедлива для случая, когда человек остается на месте, то есть:

$\mu (mg + T \sin \alpha ) > T \cos \alpha$, откуда $m > M \frac{1 - \mu^{2} }{1 + \mu^{2}}$. (4)

То есть, при условии (4) ответом задачи является равенство (3). Пусть

$m \leq M \frac{1 - \mu^{2} }{1 + \mu^{2} }$. (5)

Запишем граничное условие недвижимости человека

$T \cos \alpha = \mu (mg + T \sin \alpha )$. (6)

Решите систему уравнений (1) и (6):

$tg \alpha = \frac{1}{ \mu} \left ( \frac{M - m}{M + m} \right )$, (7)
$T = \frac{g}{2} \sqrt{ \mu^{2}(M + m)^{2} + (M - m)^{2} }$. (8)

При (5) ответом задачи является равенство (8).