Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14310
2020-10-19 
Из пушки выстреливают ядро массой $M$, что разрывается на поверхности Земли и образует ямку радиусом $R$. Обломки ядра имеют одинаковую массу и равномерно разлетаются во все стороны с одинаковой скоростью $v$. Определите массу всех обломков, вылетевших из ямки.
Решение:
За пределы ямки попадут обломки, вылетающих под углами от $\alpha_{0}$ до $\left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} \right )$, то есть через сферический сегмент площади (см. рис.):
$S = 2 \pi \left ( \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} \right ) - \sin \alpha_{0} \right ) R^{2}$. (1)
Тогда масса обломков, вылетевших будет
$m = M \frac{S}{4 \pi R^{2} }$, (2)
где $4 \pi R^{2}$ - площадь сферы.
Определим $\alpha_{0}$ из уравнения $R = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha_{0} }{g}$, отсюда
$\alpha_{0} = \frac{1}{2} агcsin \frac{Rg}{v^{2} }$. (3)
Понятно, что рассматривается случай $Rg < v^{2}$.
Учтя (1-3), получим:
$m = \frac{M}{2} \left ( \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{1}{2} arcsin \frac{Rg}{v^{2} } \right ) - \sin \left ( \frac{1}{2} arcsin \frac{Rg}{v^{2} } \right ) \right )$.
Рассчитаем площадь сферического сегмента. Выберем элемент поверхности в виде круговой полоски шириной $rd \alpha$. Площадь этого элемента: $dS = 2 \pi r^{2} \cos \alpha d \alpha$. Тогда площадь сферического сегмента:
$S = \int_{ \alpha_{0} }^{ \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} } dS = \int_{ \alpha_{0} }^{ \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} } 2 \pi r^{2} \cos \alpha d \alpha = 2 \pi r^{2} \left ( \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha_{0} \right ) - \sin \alpha_{0} \right )$.
Из пушки выстреливают ядро массой $M$, что разрывается на поверхности Земли и образует ямку радиусом $R$. Обломки ядра имеют одинаковую массу и равномерно разлетаются во все стороны с одинаковой скоростью $v$. Определите массу всех обломков, вылетевших из ямки.
Решение:
За пределы ямки попадут обломки, вылетающих под углами от $\alpha_{0}$ до $\left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} \right )$, то есть через сферический сегмент площади (см. рис.):
$S = 2 \pi \left ( \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} \right ) - \sin \alpha_{0} \right ) R^{2}$. (1)
Тогда масса обломков, вылетевших будет
$m = M \frac{S}{4 \pi R^{2} }$, (2)
где $4 \pi R^{2}$ - площадь сферы.
Определим $\alpha_{0}$ из уравнения $R = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha_{0} }{g}$, отсюда
$\alpha_{0} = \frac{1}{2} агcsin \frac{Rg}{v^{2} }$. (3)
Понятно, что рассматривается случай $Rg < v^{2}$.
Учтя (1-3), получим:
$m = \frac{M}{2} \left ( \sin \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{1}{2} arcsin \frac{Rg}{v^{2} } \right ) - \sin \left ( \frac{1}{2} arcsin \frac{Rg}{v^{2} } \right ) \right )$.
Рассчитаем площадь сферического сегмента. Выберем элемент поверхности в виде круговой полоски шириной $rd \alpha$. Площадь этого элемента: $dS = 2 \pi r^{2} \cos \alpha d \alpha$. Тогда площадь сферического сегмента:
$S = \int_{ \alpha_{0} }^{ \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} } dS = \int_{ \alpha_{0} }^{ \frac{ \pi}{2} - \alpha_{0} } 2 \pi r^{2} \cos \alpha d \alpha = 2 \pi r^{2} \left ( \sin \left ( \frac{ \pi }{2} - \alpha_{0} \right ) - \sin \alpha_{0} \right )$.
