ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-10-19   
В "черном ящике" смонтирован электрическую схему, состоящую из трех сопротивлений. Предложите варианты схемы и рассчитайте значения сопротивлений, если известно
$R_{12} = \frac{3}{2} Ом; R_{23} = \frac{5}{6} Ом; R_{13} = \frac{4}{3} Ом$.



Решение:


Возможны два варианта соединения трех сопротивлений в "черном ящике".
I вариант - соединение звездой.


$r_{1} + r_{2} = R_{12}$, (1)
$r_{2} + r_{3} = R_{23}$, (2)
$r_{3} + r_{1} = R_{31}$. (3)

Определите опоры, для этого с уравнениями (1), (2), (3) выполним следующие действия:

$(1) + (3) - (2): r_{1} = \frac{R_{12} + R_{13} - R_{23} }{2} = 1 Ом$,
$(1) + (2) - (3): r_{2} = \frac{R_{12} + R_{23} - R_{23} }{2} = \frac{1}{2} Ом$,
$(2) + (3) - (1): r_{3} = \frac{R_{23} + R_{13} - R_{12} }{2} = \frac{1}{3} Ом$,

II вариант соединение треугольником.

$R_{12} = \frac{R_{1}(R_{2} + R_{3} ) }{R_{1} + R_{2} + R_{3} } = r_{1} + r_{2}$, (4)
$R_{23} = \frac{R_{2}(R_{3} + R_{1} ) }{R_{1} + R_{2} + R_{3} } = r_{2} + r_{3}$, (5)
$R_{13} = \frac{R_{3}(R_{1} + R_{2} ) }{R_{1} + R_{2} + R_{3} } = r_{1} + r_{3}$, (6)


Добавим уравнения (4), (5), (6):

$r_{1} + r_{2} + r_{3} = \frac{R_{1}R_{2} + R_{2}R_{3} + R_{3}R_{1} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }$. (7)

Отнимем (7) - (4):

$r_{3} = \frac{R_{2}R_{3} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }$, (8)

(7) - (5):

$r_{1} = \frac{R_{3}R_{1} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }$, (9)

(7) - (6):

$r_{2} = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }$, (10)

Найдем следующее выражение:

$r_{1}r_{2} + r_{2}r_{3} + r_{3}r_{1} = \frac{R_{1}R_{2}R_{3} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }$ (11)

Поделим (11) на (8):

$\frac{r_{1}r_{2} + r_{2}r_{3} + r_{3}r_{1} }{r_{3} } = R_{1} = 3 Ом$.

Поделим (11) на (9):

$\frac{r_{1}r_{2} + r_{2}r_{3} + r_{3}r_{1} }{r_{1} } = R_{2} = 2 Ом$.

Поделим (11) на (10):

$\frac{r_{1}r_{2} + r_{2}r_{3} + r_{3}r_{1} }{r_{2} } = R_{3} = 1 Ом$.