Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 143
2014-05-31 
Летательный аппарат стартует с поверхности Земли. Первые 10 с полета двигатели работают так, что вертикальная составляющая ускорения аппарата относительно Земли направлена вверх вдоль оси у и равна $10 м/с^{2}$, а горизонтальная - вдоль оси х и также равна $10 м/с^{2}$. Затем в течение 20 с полет происходит с выключенными двигателями. В следующие 10 с двигатели включены; при этом вертикальная составляющая ускорения направлена вверх и равна $10 м/с^{2}$, а горизонтальная - вдоль оси х и равна -$10м/с^{2}$. Найдите наибольшее значение скорости и ее составляющих, максимальную высоту и дальность полета, скорость в наивысшей и в конечной точках полета. Считать, что на протяжении всего полета сопротивление
воздуха отсутствует, а ускорение свободного падения равно $10 м/с^{2}$.
Решение:
Движение аппарата в каждый из промежутков времени от 0 до 10 с, от 10 до 30 с и, наконец, от 30 до 40 с описывается системами из двух уравнений:
$\bar{r} = \bar{r_{0}} + \bar{v_{0}} (t-t_{0}) + \bar{a} (t-t_{0})^{2}/2$, (1)
$\bar{v} = \bar{v_{0}}+\bar{a}(t-t_{0})$, (2)
имеющих одинаковый внешний вид и отличающихся друг от друга лишь значениями входящих в них постоянных. Проецируя уравнения (1), (2) на оси координат, получаем:
$x = x_{0} + v_{0x}(t-t_{0})+a_{x}(t-t_{0})^{2}/2$, (3)
$y = y_{0} + v_{0y}(t-t_{0})+a_{y}(t-t_{0})^{2}/2$, (4)
$v_{x}=v_{0x}+a_{x}(t-t_{0})$, (5)
$v_{y}=v_{0y}+a_{y}(t-t_{0})$. (6)
Исследуем движение на I участке полета, которое осуществляется в течение времени t, удовлетворяющего неравенствам $0 < t < 10 c$. В этом случае $t_{0} =0,x_{0}=y_{0} =0, v_{0x} = v_{0y} =0$ и $a_{x} =a_{y} = 10 м/с^{2}$. В соответствии с этим система уравнений (3) - (6) принимает вид
$x=5t^{2}$, (7)
$y=5t^{2}$, (8)
$v_{x}=10t$, (9)
$v_{y}=10t$. (10)
Исключив из уравнений (7) - (10) время t, получим следующее уравнение для траектории I этапа полета:
$y=x (0
Исследуем движение на II этапе полета, которое осуществляется в течение времени t, удовлетворяющего неравенствам $10 < t < 30 с$. Начальные данные движения на II этапе полета совпадают с конечными данными на I этапе, т. е. $x_{0} = x_{A} = 500 м$,$y_{0} = y_{A}=500 м$, $v_{x0}=v_{xA}=100 м/с$ и $v_{y0}=v_{yA}=100 м/с$. С учетом этих начальных условий и того, что на II этапе полета $a_{x}=0, a_{y}= -g = - 10 м/с^{2}$,
уравнения (3) - (6) принимают вид
$x=500+100 (t-10)$, (12)
$y=500+100 (t-10) – 5 (t-10)^{2}$, (13)
$v_{x}=100 = const$, (14)
$v_{y}=100 – 10 (t-10)$. (15)
Исключая из системы уравнений (12), (13) время t, получаем следующее уравнение траектории на II этапе полета:
$y=x - \frac{(x-500)^{2}}{2000} (500 < x < 2500 м)$.
Это уравнение параболы. В момент прохождения ее вершины составляющая скорости $v_{y}$ обращается в ноль. Приравнивая правую часть равенства (15) нулю и решая полученное уравнение относительно t, находим момент прохождения верхней точки траектории (точки В) $t = 20 с$. Координаты вершины $x_{B}$ и $y_{B}$ найдем, положив в равенствах (12), (13) $t = 20 с: x_{B} = 1500 м$ и $y_{B} = 1000 м$. В конце
II этапа движения аппарат будет находиться в точке С траектории с координатами $х_{C} = 2500 м$ и $y_{C} = 500 м$. Эти значения получаем, положив в равенствах (12), (13) $t = 30 с$. Значения $v_{xC}$ и $v_{yC}$ составляющих скорости в точке С найдем, положив в уравнениях (14), (15) $t = 30 с: v_{xC} = 100 м/с$ и $v_{yC} = -100 м/с$.
Исследуем движение на последнем - III участке полета, которое завершается в течение времени t. удовлетворяющего неравенствам $30 < t < 40 с$. Начальные данные движения на III участке полета совпадают с конечными данными движения на II этапе, т. е. $t_{0} = 10 с, x_{0} = x_{C} = 2500 м, y_{0} = -y_{C} = 500 м, v_{x0} = v_{xC} = 100 м/с$ и $v_{y0}=v_{yC}=-100 м/с$. С учетом этих данных и того, что ускорение на III этапе полета $a_{x} = - 10м/с^{2}$ и $a_{y} = 10 м/с^{2}$ , уравнения (3) - (6)
принимают вид
$x= 2500 + 100(t-30)-5(t-30)^{2}$, (16)
$y= 500 – 100 (t-300)+5(t-30)^{2}$, (17)
$v_{x} = 400 – 10 (t-30)$, (18)
$v_{y} = -100 + 10 (t-30)$, (19)
Исключая из системы уравнений (16) - (17) время t, получаем уравнение траектории III этапа:
$y=3000 – x (2500 \leq x \leq 3000 м)$.
Это уравнение прямой, соединяющей точку С с точкой D, имеющей координаты $x_{D}= 3000 м, у_{D} = 0 м$. Прямая составляет угол $45^{\circ}$ с осью х. В точку D летательный аппарат приходит в момент времени $t = 40 с$. Из уравнений (18), (19) следует, что в этот момент составляющие скорости имеют значения $v_{xD} = 0$ и $v_{0D} = 0$. Таким образом, летательный аппарат совершает "мягкую" посадку в точке D с нулевой конечной скоростью.
Из систем уравнений (9), (10), (14), (15) и (18), (19) следует, что наибольшего значения составляющая скорости $v_{y}$ достигает в точках А и С : $v_{y} = 100 м/с$. В этих же точках имеет наибольшую величину и составляющая скорости $v_{x} = 100 м/с$. Следовательно, полная скорость аппарата достигает в этих точках своего максимума
$v_{max}=\sqrt{v_{xA}^{2}+v_{yA}^{2}}=\sqrt{v_{xC}^{2}+v_{yC}^{2}} \approx 141 м/с$.
Максимальные высота и дальность полета равны соответственно $y_{B} = 1000 м$ и $x_{D} = 3000 м$, а скорость в наивысшей точке $v_{xC} = 100 м/с$
Летательный аппарат стартует с поверхности Земли. Первые 10 с полета двигатели работают так, что вертикальная составляющая ускорения аппарата относительно Земли направлена вверх вдоль оси у и равна $10 м/с^{2}$, а горизонтальная - вдоль оси х и также равна $10 м/с^{2}$. Затем в течение 20 с полет происходит с выключенными двигателями. В следующие 10 с двигатели включены; при этом вертикальная составляющая ускорения направлена вверх и равна $10 м/с^{2}$, а горизонтальная - вдоль оси х и равна -$10м/с^{2}$. Найдите наибольшее значение скорости и ее составляющих, максимальную высоту и дальность полета, скорость в наивысшей и в конечной точках полета. Считать, что на протяжении всего полета сопротивление
воздуха отсутствует, а ускорение свободного падения равно $10 м/с^{2}$.
Решение:
Движение аппарата в каждый из промежутков времени от 0 до 10 с, от 10 до 30 с и, наконец, от 30 до 40 с описывается системами из двух уравнений:
$\bar{r} = \bar{r_{0}} + \bar{v_{0}} (t-t_{0}) + \bar{a} (t-t_{0})^{2}/2$, (1)
$\bar{v} = \bar{v_{0}}+\bar{a}(t-t_{0})$, (2)
имеющих одинаковый внешний вид и отличающихся друг от друга лишь значениями входящих в них постоянных. Проецируя уравнения (1), (2) на оси координат, получаем:
$x = x_{0} + v_{0x}(t-t_{0})+a_{x}(t-t_{0})^{2}/2$, (3)
$y = y_{0} + v_{0y}(t-t_{0})+a_{y}(t-t_{0})^{2}/2$, (4)
$v_{x}=v_{0x}+a_{x}(t-t_{0})$, (5)
$v_{y}=v_{0y}+a_{y}(t-t_{0})$. (6)
Исследуем движение на I участке полета, которое осуществляется в течение времени t, удовлетворяющего неравенствам $0 < t < 10 c$. В этом случае $t_{0} =0,x_{0}=y_{0} =0, v_{0x} = v_{0y} =0$ и $a_{x} =a_{y} = 10 м/с^{2}$. В соответствии с этим система уравнений (3) - (6) принимает вид
$x=5t^{2}$, (7)
$y=5t^{2}$, (8)
$v_{x}=10t$, (9)
$v_{y}=10t$. (10)
Исключив из уравнений (7) - (10) время t, получим следующее уравнение для траектории I этапа полета:
$y=x (0
Исследуем движение на II этапе полета, которое осуществляется в течение времени t, удовлетворяющего неравенствам $10 < t < 30 с$. Начальные данные движения на II этапе полета совпадают с конечными данными на I этапе, т. е. $x_{0} = x_{A} = 500 м$,$y_{0} = y_{A}=500 м$, $v_{x0}=v_{xA}=100 м/с$ и $v_{y0}=v_{yA}=100 м/с$. С учетом этих начальных условий и того, что на II этапе полета $a_{x}=0, a_{y}= -g = - 10 м/с^{2}$,
уравнения (3) - (6) принимают вид
$x=500+100 (t-10)$, (12)
$y=500+100 (t-10) – 5 (t-10)^{2}$, (13)
$v_{x}=100 = const$, (14)
$v_{y}=100 – 10 (t-10)$. (15)
Исключая из системы уравнений (12), (13) время t, получаем следующее уравнение траектории на II этапе полета:
$y=x - \frac{(x-500)^{2}}{2000} (500 < x < 2500 м)$.
Это уравнение параболы. В момент прохождения ее вершины составляющая скорости $v_{y}$ обращается в ноль. Приравнивая правую часть равенства (15) нулю и решая полученное уравнение относительно t, находим момент прохождения верхней точки траектории (точки В) $t = 20 с$. Координаты вершины $x_{B}$ и $y_{B}$ найдем, положив в равенствах (12), (13) $t = 20 с: x_{B} = 1500 м$ и $y_{B} = 1000 м$. В конце
II этапа движения аппарат будет находиться в точке С траектории с координатами $х_{C} = 2500 м$ и $y_{C} = 500 м$. Эти значения получаем, положив в равенствах (12), (13) $t = 30 с$. Значения $v_{xC}$ и $v_{yC}$ составляющих скорости в точке С найдем, положив в уравнениях (14), (15) $t = 30 с: v_{xC} = 100 м/с$ и $v_{yC} = -100 м/с$.
Исследуем движение на последнем - III участке полета, которое завершается в течение времени t. удовлетворяющего неравенствам $30 < t < 40 с$. Начальные данные движения на III участке полета совпадают с конечными данными движения на II этапе, т. е. $t_{0} = 10 с, x_{0} = x_{C} = 2500 м, y_{0} = -y_{C} = 500 м, v_{x0} = v_{xC} = 100 м/с$ и $v_{y0}=v_{yC}=-100 м/с$. С учетом этих данных и того, что ускорение на III этапе полета $a_{x} = - 10м/с^{2}$ и $a_{y} = 10 м/с^{2}$ , уравнения (3) - (6)
принимают вид
$x= 2500 + 100(t-30)-5(t-30)^{2}$, (16)
$y= 500 – 100 (t-300)+5(t-30)^{2}$, (17)
$v_{x} = 400 – 10 (t-30)$, (18)
$v_{y} = -100 + 10 (t-30)$, (19)
Исключая из системы уравнений (16) - (17) время t, получаем уравнение траектории III этапа:
$y=3000 – x (2500 \leq x \leq 3000 м)$.
Это уравнение прямой, соединяющей точку С с точкой D, имеющей координаты $x_{D}= 3000 м, у_{D} = 0 м$. Прямая составляет угол $45^{\circ}$ с осью х. В точку D летательный аппарат приходит в момент времени $t = 40 с$. Из уравнений (18), (19) следует, что в этот момент составляющие скорости имеют значения $v_{xD} = 0$ и $v_{0D} = 0$. Таким образом, летательный аппарат совершает "мягкую" посадку в точке D с нулевой конечной скоростью.
Из систем уравнений (9), (10), (14), (15) и (18), (19) следует, что наибольшего значения составляющая скорости $v_{y}$ достигает в точках А и С : $v_{y} = 100 м/с$. В этих же точках имеет наибольшую величину и составляющая скорости $v_{x} = 100 м/с$. Следовательно, полная скорость аппарата достигает в этих точках своего максимума
$v_{max}=\sqrt{v_{xA}^{2}+v_{yA}^{2}}=\sqrt{v_{xC}^{2}+v_{yC}^{2}} \approx 141 м/с$.
Максимальные высота и дальность полета равны соответственно $y_{B} = 1000 м$ и $x_{D} = 3000 м$, а скорость в наивысшей точке $v_{xC} = 100 м/с$
