Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14264
2020-06-09 
Из стеклянной пластинки с показателем преломления $n = 1,5$ вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом $R = 10 см$. Через такую линзу рассматривается точечный источник света S, расположенный на расстоянии $d = R/2$ от плоской поверхности полушара (рис.). На каком расстоянии от этой поверхности наблюдатель увидит изображение источника света?
Указание: для малых углов $tg \alpha = \sin \alpha = \alpha$.
Решение:
Сразу оговоримся, что мы будем рассматривать параксиальные лучи, т.е. лучи, которые распространяются под малыми углами к главной оптической оси линзы. Решение задачи разобьем на два этапа. На первом этапе рассмотрим падение лучей от источника на плоскую границу раздела: справа находится стекло с показателем преломления $n$, а слева - воздушная среда (рис.). Из треугольника SAO находим
$AO = d tg \alpha$,
где $\alpha$ - произвольный угол. Расстояние $S^{ \prime}O$ найдем из треугольника $S^{ \prime}AO$:
$S^{ \prime}O = \frac{AO}{tg \beta } = d \frac{tg \alpha}{ tg \beta } = d \frac{ \alpha }{ \beta } = dn$.
Полученный результат позволяет нам заменить реальный источник $S$, расположенный в воздушной среде, мнимым источником $S^{ \prime}$, расположеным в стекле. Эта эквивалентная ситуация изображена на рисунке. Слева от сферической границы находится стеклянная среда с показателем преломления $n$, а справа - воздушная среда. Из точки $S^{ \prime}$ проведем произвольный луч под углом $\delta$ к горизонту. Обозначим угол падения на границу двух сред через $\alpha$, а угол преломления через $\beta$. По закону преломления,
$\frac{ \sin \beta}{ \sin \alpha } = \frac{ \beta }{ \alpha } = n$.
Из треугольника $S^{ \prime}AO$ по теореме синусов можно записать
$\frac{R}{S^{ \prime} O } = \frac{sin \delta}{ \sin \alpha } = \frac{ \delta }{ \alpha }$.
Подставляя сюда выражение для $S^{ \prime}O$, получим связь между углами $\delta$ и $\alpha$:
$\delta = \frac{2 \alpha }{n}$.
Угол $\sigma$, очевидно, равен разности углов $\beta$ и $\alpha$:
$\sigma = \beta - \alpha = \alpha (n - 1)$.
Углы $\sigma$ и $\gamma$ в сумме равны углу $\delta$, поэтому
$\gamma = \delta - \sigma = \frac{2 \sigma }{n} - \alpha ( n - 1) = \alpha \frac{2 - n(n-1)}{n}$.
Теперь рассмотрим треугольник $S^{ \prime \prime}AO$. По теореме синусов можно записать
$\frac{S^{ \prime \prime}O}{R} = \frac{ \sin \beta }{ \sin \gamma} = \frac{ \beta }{ \gamma } = \frac{n^{2} }{2 - n^{2} + n }$.
Отсюда искомое расстояние будет равно
$S^{ \prime \prime}O = R \frac{n^{2} }{2 - n^{2} + n } = 18 см$.
Данная задача имеет другое решение, которое принципиально отличается от приведенного выше. Для параксиальных лучей стеклянную полусферу можно рассматривать как суперпозицию стеклянной плоскопараллельной пластинки толщиной $R$ и плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны $R$. Вывод выражения для фокуса $F$ такой системы выходит за рамки школьной программы, потому мы приведем лишь окончательный результат:
$\frac{1}{F} = (n - 1) \left ( \frac{1}{R} + \frac{1}{ \infty } \right ) = \frac{n - 1}{R}$
(с одной стороны радиус кривизны поверхности линзы равен $R$, с другой стороны мы имеем плоскую поверхность, т.е. радиус кривизны бесконечно большой). Проведите этот
способ решения и сравните результат с полученным выше ответом.
Из стеклянной пластинки с показателем преломления $n = 1,5$ вырезали толстую линзу в форме полушара радиусом $R = 10 см$. Через такую линзу рассматривается точечный источник света S, расположенный на расстоянии $d = R/2$ от плоской поверхности полушара (рис.). На каком расстоянии от этой поверхности наблюдатель увидит изображение источника света?
Указание: для малых углов $tg \alpha = \sin \alpha = \alpha$.
Решение:
Сразу оговоримся, что мы будем рассматривать параксиальные лучи, т.е. лучи, которые распространяются под малыми углами к главной оптической оси линзы. Решение задачи разобьем на два этапа. На первом этапе рассмотрим падение лучей от источника на плоскую границу раздела: справа находится стекло с показателем преломления $n$, а слева - воздушная среда (рис.). Из треугольника SAO находим
$AO = d tg \alpha$,
где $\alpha$ - произвольный угол. Расстояние $S^{ \prime}O$ найдем из треугольника $S^{ \prime}AO$:
$S^{ \prime}O = \frac{AO}{tg \beta } = d \frac{tg \alpha}{ tg \beta } = d \frac{ \alpha }{ \beta } = dn$.
Полученный результат позволяет нам заменить реальный источник $S$, расположенный в воздушной среде, мнимым источником $S^{ \prime}$, расположеным в стекле. Эта эквивалентная ситуация изображена на рисунке. Слева от сферической границы находится стеклянная среда с показателем преломления $n$, а справа - воздушная среда. Из точки $S^{ \prime}$ проведем произвольный луч под углом $\delta$ к горизонту. Обозначим угол падения на границу двух сред через $\alpha$, а угол преломления через $\beta$. По закону преломления,
$\frac{ \sin \beta}{ \sin \alpha } = \frac{ \beta }{ \alpha } = n$.
Из треугольника $S^{ \prime}AO$ по теореме синусов можно записать
$\frac{R}{S^{ \prime} O } = \frac{sin \delta}{ \sin \alpha } = \frac{ \delta }{ \alpha }$.
Подставляя сюда выражение для $S^{ \prime}O$, получим связь между углами $\delta$ и $\alpha$:
$\delta = \frac{2 \alpha }{n}$.
Угол $\sigma$, очевидно, равен разности углов $\beta$ и $\alpha$:
$\sigma = \beta - \alpha = \alpha (n - 1)$.
Углы $\sigma$ и $\gamma$ в сумме равны углу $\delta$, поэтому
$\gamma = \delta - \sigma = \frac{2 \sigma }{n} - \alpha ( n - 1) = \alpha \frac{2 - n(n-1)}{n}$.
Теперь рассмотрим треугольник $S^{ \prime \prime}AO$. По теореме синусов можно записать
$\frac{S^{ \prime \prime}O}{R} = \frac{ \sin \beta }{ \sin \gamma} = \frac{ \beta }{ \gamma } = \frac{n^{2} }{2 - n^{2} + n }$.
Отсюда искомое расстояние будет равно
$S^{ \prime \prime}O = R \frac{n^{2} }{2 - n^{2} + n } = 18 см$.
Данная задача имеет другое решение, которое принципиально отличается от приведенного выше. Для параксиальных лучей стеклянную полусферу можно рассматривать как суперпозицию стеклянной плоскопараллельной пластинки толщиной $R$ и плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны $R$. Вывод выражения для фокуса $F$ такой системы выходит за рамки школьной программы, потому мы приведем лишь окончательный результат:
$\frac{1}{F} = (n - 1) \left ( \frac{1}{R} + \frac{1}{ \infty } \right ) = \frac{n - 1}{R}$
(с одной стороны радиус кривизны поверхности линзы равен $R$, с другой стороны мы имеем плоскую поверхность, т.е. радиус кривизны бесконечно большой). Проведите этот
способ решения и сравните результат с полученным выше ответом.
