Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14260
2020-06-09 
При каких сопротивлениях резистора $R$ в цепи на рисунке в случае размыкания рубильника К может возникнуть дуговой разряд? Известно, что напряжение $U$ на участке дугового разряда связано с током $I$ в цепи соотношением $U = a + \frac{b}{I}$, где $a$ и $b$ - константы, причем $a = 10 В$ и $b = 100 В \cdot А$. ЭДС батареи $E = 100 В$. Считать, что все сопротивление цепи сосредоточено в резисторе. Какой ток установится в цепи, если $R = 8 Ом$?
Решение:
Сначала несколько слов о включенной в цепь катушке, величина индуктивности которой не задана. Сразу отметим, что дуговой разряд потому и возникает при разрыве цепи с током, что в цепи имеется достаточно большая индуктивность. В момент разрыва цепи индуктивность, благодаря своей инерционности, стремится сохранить в цепи ток, а это приводит к появлению достаточно большой разности потенциалов на воздушном зазоре рубильника, что и вызывает появление дугового разряда. В дальнейшем мы будем рассматривать стационарные режимы, когда при наличии дугового разряда в цепи течет постоянный ток. В этом случае индуктивность не влияет на величину тока в цепи.
Рассмотрим условие возникновения дугового разряда в зависимости от величины сопротивления резистора $R$. Качественно можно сказать, что дуга будет поддерживаться при малых сопротивлениях резистора, поскольку при больших $R$ на резисторе будет выделяться большое количество теплоты и батарея будет не в состоянии (по энергетическим соображениям) поддерживать дуговой разряд. Пусть в цепи течет ток $I$, а напряжение на разряде равно $U$. Закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид
$U = E - IR$.
В координатах $U$ и $I$ это уравнение прямой, которую обычно называют нагрузочной прямой. С другой стороны, вольт-амперная характеристика дугового разряда имеет вид гиперболы, описываемой уравнением
$U = a + \frac{b}{I}$.
Очевидно, что дуговой разряд возникнет при размыкании рубильника в том случае, если нагрузочная прямая будет пересекаться с вольт-амперной характеристикой разряда. Максимальное значение сопротивления $R$, при котором дуговой разряд еще может возникнуть, соответствует такому случаю, когда нагрузочная прямая касается вольт-амперной характеристики разряда. Такая ситуация изображена на рисунке - нагрузочная прямая 1 касается вольт-амперной характеристики разряда 2. Для этой нагрузочной прямой при $U = 0$ $I = 5 А$; следовательно, сопротивление резистора $R = \frac{E}{I} = 20 Ом$. Таким образом, мы получили, что при сопротивлениях $R \leq 20 Ом$ возникает дуговой разряд.
Разобранный графический способ решения обладает определенной погрешностью, поэтому для более точного определения верхней границы сопротивлений проведем аналитический расчет. Полагая, что дуговой разряд возник, запишем закон Ома для нашей цепи:
$E = IR + a + \frac{b}{I}$.
После приведения к общему знаменателю и подстановки числовых значений получим квадратное уравнение для тока:
$RI^{2} - 90I + b = 0$,
откуда
$I = \frac{45 \pm \sqrt{45^{2} - 100R } }{R}$.
Поскольку нас интересует случай, когда мы имеем единственное значение тока в точке касания нагрузочной прямой и вольт-амперной характеристики разряда, то в приведенном решении подкоренное выражение должно быть равно нулю. Отсюда получаем $R = 20,25 Ом$. Значит, дуговой разряд в случае размыкания рубильника может возникнуть при сопротивлениях
$0 \leq R \leq 20,25 Ом$.
Теперь разберем случай, когда сопротивление резистора равно 8 Ом. Нагрузочная прямая для этого случая изображена на рисунке в виде прямой 3. Как видно из рисунка, прямая 3 пересекает вольт-амперную характеристику разряда в двух точках, т.е. мы имеем два решения. Для нахождения этих двух значений тока запишем закон Ома в виде
$E = 8I + a + \frac{b}{I}$,
или, после приведения к общему знаменателю и подстановки числовых значений,
$8I^{2} - 90I + 100 = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $I_{1} = 1,25 А$ и $I_{2} = 10 А$. Дуговой разряд при токе $I_{1} = 1,25 А$ ($U = 90 В$) оказывается неустойчивым. Следовательно, в цепи установится ток
$I_{2} = 10 А$.
При каких сопротивлениях резистора $R$ в цепи на рисунке в случае размыкания рубильника К может возникнуть дуговой разряд? Известно, что напряжение $U$ на участке дугового разряда связано с током $I$ в цепи соотношением $U = a + \frac{b}{I}$, где $a$ и $b$ - константы, причем $a = 10 В$ и $b = 100 В \cdot А$. ЭДС батареи $E = 100 В$. Считать, что все сопротивление цепи сосредоточено в резисторе. Какой ток установится в цепи, если $R = 8 Ом$?
Решение:
Сначала несколько слов о включенной в цепь катушке, величина индуктивности которой не задана. Сразу отметим, что дуговой разряд потому и возникает при разрыве цепи с током, что в цепи имеется достаточно большая индуктивность. В момент разрыва цепи индуктивность, благодаря своей инерционности, стремится сохранить в цепи ток, а это приводит к появлению достаточно большой разности потенциалов на воздушном зазоре рубильника, что и вызывает появление дугового разряда. В дальнейшем мы будем рассматривать стационарные режимы, когда при наличии дугового разряда в цепи течет постоянный ток. В этом случае индуктивность не влияет на величину тока в цепи.
Рассмотрим условие возникновения дугового разряда в зависимости от величины сопротивления резистора $R$. Качественно можно сказать, что дуга будет поддерживаться при малых сопротивлениях резистора, поскольку при больших $R$ на резисторе будет выделяться большое количество теплоты и батарея будет не в состоянии (по энергетическим соображениям) поддерживать дуговой разряд. Пусть в цепи течет ток $I$, а напряжение на разряде равно $U$. Закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид
$U = E - IR$.
В координатах $U$ и $I$ это уравнение прямой, которую обычно называют нагрузочной прямой. С другой стороны, вольт-амперная характеристика дугового разряда имеет вид гиперболы, описываемой уравнением
$U = a + \frac{b}{I}$.
Очевидно, что дуговой разряд возникнет при размыкании рубильника в том случае, если нагрузочная прямая будет пересекаться с вольт-амперной характеристикой разряда. Максимальное значение сопротивления $R$, при котором дуговой разряд еще может возникнуть, соответствует такому случаю, когда нагрузочная прямая касается вольт-амперной характеристики разряда. Такая ситуация изображена на рисунке - нагрузочная прямая 1 касается вольт-амперной характеристики разряда 2. Для этой нагрузочной прямой при $U = 0$ $I = 5 А$; следовательно, сопротивление резистора $R = \frac{E}{I} = 20 Ом$. Таким образом, мы получили, что при сопротивлениях $R \leq 20 Ом$ возникает дуговой разряд.
Разобранный графический способ решения обладает определенной погрешностью, поэтому для более точного определения верхней границы сопротивлений проведем аналитический расчет. Полагая, что дуговой разряд возник, запишем закон Ома для нашей цепи:
$E = IR + a + \frac{b}{I}$.
После приведения к общему знаменателю и подстановки числовых значений получим квадратное уравнение для тока:
$RI^{2} - 90I + b = 0$,
откуда
$I = \frac{45 \pm \sqrt{45^{2} - 100R } }{R}$.
Поскольку нас интересует случай, когда мы имеем единственное значение тока в точке касания нагрузочной прямой и вольт-амперной характеристики разряда, то в приведенном решении подкоренное выражение должно быть равно нулю. Отсюда получаем $R = 20,25 Ом$. Значит, дуговой разряд в случае размыкания рубильника может возникнуть при сопротивлениях
$0 \leq R \leq 20,25 Ом$.
Теперь разберем случай, когда сопротивление резистора равно 8 Ом. Нагрузочная прямая для этого случая изображена на рисунке в виде прямой 3. Как видно из рисунка, прямая 3 пересекает вольт-амперную характеристику разряда в двух точках, т.е. мы имеем два решения. Для нахождения этих двух значений тока запишем закон Ома в виде
$E = 8I + a + \frac{b}{I}$,
или, после приведения к общему знаменателю и подстановки числовых значений,
$8I^{2} - 90I + 100 = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $I_{1} = 1,25 А$ и $I_{2} = 10 А$. Дуговой разряд при токе $I_{1} = 1,25 А$ ($U = 90 В$) оказывается неустойчивым. Следовательно, в цепи установится ток
$I_{2} = 10 А$.
