Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14258
2020-06-09 
В схеме на рисунке конденсатор емкостью $C$ заряжен до некоторого напряжения, а ключ К разомкнут. После замыкания ключа в схеме происходят свободные колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_{2}$ равно $I_{0}$. Когда ток в катушке индуктивностью $L_{1}$ достигает максимального значения, из нее быстро (за малое время по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в $k$ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторе после выдвижения сердечника.
Решение:
Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа К, но до выдвижения сердечника. Обозначим начальное напряжение на конденсаторе $U_{C0}$, напряжение в произвольный момент времени $U_{C}$. Пусть через катушку индуктивностью $L_{1}$ течет ток $I_{1}$, а через катушку индуктивностью $L_{2}$ - ток $I_{2}$ (рис.). Запишем закон Ома для контура, включающего в себя конденсатор и катушку индуктивностью $L_{2}$:
$L_{2}I_{2}^{ \prime} = U_{C}$. (1)
Закон Ома для контура, охватывающего обе катушки, имеет вид
$L_{1}I_{1}^{ \prime} = L_{2}I_{2}^{ \prime}$,
или
$(l_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} )^{ \prime} = 0$.
Отсюда получим
$L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = const$,
или, поскольку начальные токи через катушки равны нулю,
$L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}$.
Из условия непрерывности тока следует, что
$I = I_{1} + I_{2} = \frac{L_{1} + L_{2} }{L_{1} } I_{2}$. (2)
Продифференцируем уравнение (1) по времени:
$L_{2}I_{2}^{ \prime \prime} = U_{C}^{ \prime}$.
Поскольку $I = - CU_{C}^{ \prime}$, уравнение приобретает вид
$L_{2}I_{2}^{ \prime \prime} + \frac{I}{C} = 0$.
Подставив сюда выражение (2), окончательно получим
$I_{2}^{ \prime \prime} + \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } I_{2} = 0$.
Решение этого уравнения запишем в виде
$I_{2}(t) = A \cos \omega_{0}t + B \sin \omega_{0}t$,
где $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } }$. Поскольку $I_{2}(0) = 0$, получим $A = 0$. Для нахождения константы $B$ воспользуемся тем фактом, что
амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_{2}$ равно $I_{0}$, и получим $B = I_{0}$. Тогда зависимости токов от времени имеют вид
$I_{2} (t) = I_{0} \sin \omega_{0}t$ и $I_{1}(t) = \frac{L_{2} }{L_{1} } I_{0} \sin \omega_{0}t$.
За время удаления сердечника из первой катушки магнитные потоки в обеих катушках не изменятся. Это приведет к тому, что ток во второй катушке сохранится:
$I_{2}^{*} = I_{0}$.
Ток $I_{1}^{*}$ в первой катушке найдем из условия $L_{2}I_{0} = \frac{L_{1} }{k}I_{1}^{*}$:
$I_{1}^{*} = \frac{kL_{2} }{L_{1} }I_{0}$.
Для определения максимального напряжения на конденсаторе воспользуемся законом сохранения энергии. Магнитная энергия, запасенная в катушке сразу после удаления
сердечника, равна
$W_{L} = \frac{L_{1}(I_{1}^{*} )^{2} }{2k} + \frac{L_{2}(I_{2}^{*} )^{2} }{2} = \frac{L_{1} }{2k} \left ( \frac{kL_{2} }{L_{1} } I_{0} \right )^{2} + \frac{L_{2}I_{0}^{2} }{2} = \frac{L_{2}I_{0}^{2} }{2} \left ( 1 + \frac{kL_{2} }{L_{1} } \right )$.
Когда напряжение на конденсаторе максимально, общий ток в контуре равен нулю, т.е. токи через катушки связаны соотношением
$I_{1}^{**} + I_{2}^{**} = 0$.
Ранее полученная связь между токами ($L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = const$) для токов $I_{1}^{**}$ и $I_{2}^{ **}$ будет иметь вид
$\frac{L_{1} }{k} I_{1}^{**} - L_{2}I_{2}^{**} = 0$.
Из последних двух уравнений следует, что токи в катушках будут равны нулю, а вся энергия контура будет сосредоточена в конденсаторе и равна
$W_{C} = \frac{CU_{m}^{2} }{2}$,
где $U_{m}$ - максимальное напряжение на конденсаторе. Согласно закону сохранения энергии, $W_{L} = W_{C}$, или
$\frac{L_{2}I_{0}^{2} }{2} \left ( 1 + \frac{kL_{2} }{L_{1} } \right ) = \frac{CU_{m}^{2} }{2}$.
Отсюда находим
$U_{m} = I_{0} \sqrt{ \frac{L_{2}(L_{1} + kL_{2} ) }{CL_{2}} }$.
В схеме на рисунке конденсатор емкостью $C$ заряжен до некоторого напряжения, а ключ К разомкнут. После замыкания ключа в схеме происходят свободные колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_{2}$ равно $I_{0}$. Когда ток в катушке индуктивностью $L_{1}$ достигает максимального значения, из нее быстро (за малое время по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в $k$ раз. Найдите максимальное напряжение на конденсаторе после выдвижения сердечника.
Решение:
Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа К, но до выдвижения сердечника. Обозначим начальное напряжение на конденсаторе $U_{C0}$, напряжение в произвольный момент времени $U_{C}$. Пусть через катушку индуктивностью $L_{1}$ течет ток $I_{1}$, а через катушку индуктивностью $L_{2}$ - ток $I_{2}$ (рис.). Запишем закон Ома для контура, включающего в себя конденсатор и катушку индуктивностью $L_{2}$:
$L_{2}I_{2}^{ \prime} = U_{C}$. (1)
Закон Ома для контура, охватывающего обе катушки, имеет вид
$L_{1}I_{1}^{ \prime} = L_{2}I_{2}^{ \prime}$,
или
$(l_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} )^{ \prime} = 0$.
Отсюда получим
$L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = const$,
или, поскольку начальные токи через катушки равны нулю,
$L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}$.
Из условия непрерывности тока следует, что
$I = I_{1} + I_{2} = \frac{L_{1} + L_{2} }{L_{1} } I_{2}$. (2)
Продифференцируем уравнение (1) по времени:
$L_{2}I_{2}^{ \prime \prime} = U_{C}^{ \prime}$.
Поскольку $I = - CU_{C}^{ \prime}$, уравнение приобретает вид
$L_{2}I_{2}^{ \prime \prime} + \frac{I}{C} = 0$.
Подставив сюда выражение (2), окончательно получим
$I_{2}^{ \prime \prime} + \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } I_{2} = 0$.
Решение этого уравнения запишем в виде
$I_{2}(t) = A \cos \omega_{0}t + B \sin \omega_{0}t$,
где $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } }$. Поскольку $I_{2}(0) = 0$, получим $A = 0$. Для нахождения константы $B$ воспользуемся тем фактом, что
амплитудное значение тока в катушке индуктивностью $L_{2}$ равно $I_{0}$, и получим $B = I_{0}$. Тогда зависимости токов от времени имеют вид
$I_{2} (t) = I_{0} \sin \omega_{0}t$ и $I_{1}(t) = \frac{L_{2} }{L_{1} } I_{0} \sin \omega_{0}t$.
За время удаления сердечника из первой катушки магнитные потоки в обеих катушках не изменятся. Это приведет к тому, что ток во второй катушке сохранится:
$I_{2}^{*} = I_{0}$.
Ток $I_{1}^{*}$ в первой катушке найдем из условия $L_{2}I_{0} = \frac{L_{1} }{k}I_{1}^{*}$:
$I_{1}^{*} = \frac{kL_{2} }{L_{1} }I_{0}$.
Для определения максимального напряжения на конденсаторе воспользуемся законом сохранения энергии. Магнитная энергия, запасенная в катушке сразу после удаления
сердечника, равна
$W_{L} = \frac{L_{1}(I_{1}^{*} )^{2} }{2k} + \frac{L_{2}(I_{2}^{*} )^{2} }{2} = \frac{L_{1} }{2k} \left ( \frac{kL_{2} }{L_{1} } I_{0} \right )^{2} + \frac{L_{2}I_{0}^{2} }{2} = \frac{L_{2}I_{0}^{2} }{2} \left ( 1 + \frac{kL_{2} }{L_{1} } \right )$.
Когда напряжение на конденсаторе максимально, общий ток в контуре равен нулю, т.е. токи через катушки связаны соотношением
$I_{1}^{**} + I_{2}^{**} = 0$.
Ранее полученная связь между токами ($L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = const$) для токов $I_{1}^{**}$ и $I_{2}^{ **}$ будет иметь вид
$\frac{L_{1} }{k} I_{1}^{**} - L_{2}I_{2}^{**} = 0$.
Из последних двух уравнений следует, что токи в катушках будут равны нулю, а вся энергия контура будет сосредоточена в конденсаторе и равна
$W_{C} = \frac{CU_{m}^{2} }{2}$,
где $U_{m}$ - максимальное напряжение на конденсаторе. Согласно закону сохранения энергии, $W_{L} = W_{C}$, или
$\frac{L_{2}I_{0}^{2} }{2} \left ( 1 + \frac{kL_{2} }{L_{1} } \right ) = \frac{CU_{m}^{2} }{2}$.
Отсюда находим
$U_{m} = I_{0} \sqrt{ \frac{L_{2}(L_{1} + kL_{2} ) }{CL_{2}} }$.
