Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1425
2016-11-20 
На подставку массой $M$, подвешенную на пружине жесткости $k$, с высоты $H$ падает тело массы $m$ и прилипает к ней. Определить максимальное растяжение пружины. Массой пружины и нитей подвеса пренебречь.
Решение:
Рассмотрим четыре состояния системы: I — начальное (тело на высоте $H$, подставка покоится); II — тело на грани соприкосновения с подставкой, сама подставка еще покоится; III — удар тела о подставку уже произошел, однако подставка практически еще не успела сдвинуться (в момент времени сразу после налипания тела), при этом скорость подставки вместе с телом обозначим через их IV — конечное состояние — подставка вместе с телом достигает нижнего положения (с нулевой скоростью).
Закон сохранения энергии при переходе из состояния I в II:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} mgH$, (1)
где $v_{0}$ — скорость тела непосредственно перед ударом о подставку.
Для состояния I закон Ньютона для подставки в проекции на вертикальную ось:
$kx_{0} = Mg$, (2)
где $x_{0}$ — деформация пружины.
Закон сохранения импульса для состояний II и III в проекции на вертикальную ось мы вправе применить, учитывая замечание во введении к разделу и полагая время прилипания (время относительного движения тела и подставки в процессе удара) малым:
$mv_{0} = (m+M)v_{1}$ (3)
Закон сохранения энергии для состояний III и IV:
$\frac{kx_{0}}{2} + \frac{(m+M)v_{1}^{2}}{2} + (M+m)gH = \frac{k(x+x_{0})^{2}}{2}$ (4)
справедлив, поскольку при переходе из III в IV переходы механической энергии в другие виды энергии отсутствуют. В (4) $x$ — дополнительное удлинение пружины, так что $x + x_{0}$ — полная деформация пружины в конечном состоянии.
Подставляя $v_{0}$ и $x_{0}$ из (1—3) в (4), получаем квадратичное уравнение относительно $x$. Его решение :
$x = \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{ 1 + \frac{2kH}{(m+M)g}} \right )$.
Итак, окончательно:
$x + x_{0} = \frac{Mg}{k} + \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{2kH}{(m+M)g}} \right )$.
Следует обратить внимание на то, что в данной задаче, как и в других, где есть переходы механической энергии в другие виды энергии, записывать закон сохранения энергии для начального и конечного состояний практически бесполезно — в уравнение войдет величина $Q$ — количество перешедшей, например, в тепло энергии, связать которую с другими параметрами задачи обычно не удается. Если же это сделать возможно, запись закона сохранения энергии может иметь смысл.
На подставку массой $M$, подвешенную на пружине жесткости $k$, с высоты $H$ падает тело массы $m$ и прилипает к ней. Определить максимальное растяжение пружины. Массой пружины и нитей подвеса пренебречь.
Решение:
Рассмотрим четыре состояния системы: I — начальное (тело на высоте $H$, подставка покоится); II — тело на грани соприкосновения с подставкой, сама подставка еще покоится; III — удар тела о подставку уже произошел, однако подставка практически еще не успела сдвинуться (в момент времени сразу после налипания тела), при этом скорость подставки вместе с телом обозначим через их IV — конечное состояние — подставка вместе с телом достигает нижнего положения (с нулевой скоростью).
Закон сохранения энергии при переходе из состояния I в II:
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} mgH$, (1)
где $v_{0}$ — скорость тела непосредственно перед ударом о подставку.
Для состояния I закон Ньютона для подставки в проекции на вертикальную ось:
$kx_{0} = Mg$, (2)
где $x_{0}$ — деформация пружины.
Закон сохранения импульса для состояний II и III в проекции на вертикальную ось мы вправе применить, учитывая замечание во введении к разделу и полагая время прилипания (время относительного движения тела и подставки в процессе удара) малым:
$mv_{0} = (m+M)v_{1}$ (3)
Закон сохранения энергии для состояний III и IV:
$\frac{kx_{0}}{2} + \frac{(m+M)v_{1}^{2}}{2} + (M+m)gH = \frac{k(x+x_{0})^{2}}{2}$ (4)
справедлив, поскольку при переходе из III в IV переходы механической энергии в другие виды энергии отсутствуют. В (4) $x$ — дополнительное удлинение пружины, так что $x + x_{0}$ — полная деформация пружины в конечном состоянии.
Подставляя $v_{0}$ и $x_{0}$ из (1—3) в (4), получаем квадратичное уравнение относительно $x$. Его решение :
$x = \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{ 1 + \frac{2kH}{(m+M)g}} \right )$.
Итак, окончательно:
$x + x_{0} = \frac{Mg}{k} + \frac{mg}{k} \left ( 1 + \sqrt{ \frac{2kH}{(m+M)g}} \right )$.
Следует обратить внимание на то, что в данной задаче, как и в других, где есть переходы механической энергии в другие виды энергии, записывать закон сохранения энергии для начального и конечного состояний практически бесполезно — в уравнение войдет величина $Q$ — количество перешедшей, например, в тепло энергии, связать которую с другими параметрами задачи обычно не удается. Если же это сделать возможно, запись закона сохранения энергии может иметь смысл.
