Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1424
2016-11-20 
Цирковой гимнаст падает с высоты $H$ на туго натянутую упругую сетку. Каково будет максимальное провисание гимнаста в сетке, если в случае спокойно лежащего в сетке гимнаста провисание равно $l$? Какова максимальная скорость гимнаста при падении?
Решение:
В физическую систему включаем гимнаста в поле тяжести Земли и сетку. Рассмотрим четыре состояния системы: I — начальное (гимнаст на высоте $H$ над сеткой, сетка нерастянута); II — гимнаст имеет максимальную скорость, при этом сетка растянута на некоторую величину $x_{0}$; III — гимнаст в сетке в момент времени, когда она максимально растянута (при этом, очевидно, скорость гимнаста равна нулю); IV — гимнаст спокойно лежит в сетке.
Запишем закон сохранения полной механической анергии для состояний I и II:
$mg (H + x_{0}) = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx_{0}^{2}}{2}$. (1)
По условию, скорость гимнаста в состоянии II максимальна. Рассмотрим, как меняется скорость гимнаста в процессе падения. Скорость будет возрастать до тех пор, пока суммарная сила, действующая на гимнаста, направлена вниз. На гимнаста действуют две силы: сила тяжести и сила упругости сетки. Таким образом, пока
$mg - kx > 0$,
скорость гимнаста возрастает. В момент времени, когда
$kx_{0} - mg = 0$, (2)
скорость достигает максимального значения.
Закон сохранения полной механической энергии для состояний I и III:
$mg(H+x_{1}) = \frac{kx_{1}^{2}}{2}$. (3)
Для состояния IV запишем закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$kl = mg$. (4)
Система уравнений (1—4) позволяет ответить на вопросы задачи: решая квадратное относительно х уравнение (3) с учетом (4), имеем:
$x_{1} = l + \sqrt{l^{2} + 2l \cdot H}$
(отрицательный корень отбрасываем); из уравнения (1) с учетом (2, 4), получаем:
$v = \sqrt{2g(H+l) - \frac{lg}{2}}$.
Из (2) и (4) видно, что $x_{0} = l$.
Отметим, что при решении задачи мы, в соответствии с условием, дважды воспользовались законом Гука и выражением для энергии деформированной пружины.
Цирковой гимнаст падает с высоты $H$ на туго натянутую упругую сетку. Каково будет максимальное провисание гимнаста в сетке, если в случае спокойно лежащего в сетке гимнаста провисание равно $l$? Какова максимальная скорость гимнаста при падении?
Решение:
В физическую систему включаем гимнаста в поле тяжести Земли и сетку. Рассмотрим четыре состояния системы: I — начальное (гимнаст на высоте $H$ над сеткой, сетка нерастянута); II — гимнаст имеет максимальную скорость, при этом сетка растянута на некоторую величину $x_{0}$; III — гимнаст в сетке в момент времени, когда она максимально растянута (при этом, очевидно, скорость гимнаста равна нулю); IV — гимнаст спокойно лежит в сетке.
Запишем закон сохранения полной механической анергии для состояний I и II:
$mg (H + x_{0}) = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx_{0}^{2}}{2}$. (1)
По условию, скорость гимнаста в состоянии II максимальна. Рассмотрим, как меняется скорость гимнаста в процессе падения. Скорость будет возрастать до тех пор, пока суммарная сила, действующая на гимнаста, направлена вниз. На гимнаста действуют две силы: сила тяжести и сила упругости сетки. Таким образом, пока
$mg - kx > 0$,
скорость гимнаста возрастает. В момент времени, когда
$kx_{0} - mg = 0$, (2)
скорость достигает максимального значения.
Закон сохранения полной механической энергии для состояний I и III:
$mg(H+x_{1}) = \frac{kx_{1}^{2}}{2}$. (3)
Для состояния IV запишем закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$kl = mg$. (4)
Система уравнений (1—4) позволяет ответить на вопросы задачи: решая квадратное относительно х уравнение (3) с учетом (4), имеем:
$x_{1} = l + \sqrt{l^{2} + 2l \cdot H}$
(отрицательный корень отбрасываем); из уравнения (1) с учетом (2, 4), получаем:
$v = \sqrt{2g(H+l) - \frac{lg}{2}}$.
Из (2) и (4) видно, что $x_{0} = l$.
Отметим, что при решении задачи мы, в соответствии с условием, дважды воспользовались законом Гука и выражением для энергии деформированной пружины.
