Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1423
2016-11-20 
На неподвижную систему, состоящую из двух одинаковых шаров массой $m$ каждый, соединенных пружиной жесткостью $k$, со скоростью $v_{0}$ налетает другой такой же шар. Удар упругий, центральный. Все три шара находятся на одной прямой. Найти максимальное сжатие пружины. Внешними силами пренебречь.
Решение:
Включим в рассмотрение три состояния системы: I — начальное; II — в момент времени сразу после удара, когда соединенные пружиной шары практически не успели сдвинуться; III — конечное, в момент времени, когда пружина максимально сжата.
Запишем законы сохранения импульса (в проекции на ось х) и энергии для состояний I и II. При этом предполагаем, что время удара весьма мало, так что смещением шара 2 можно пренебречь и, следовательно, пружина недеформирована, а шар 3 остается и покое. Иными словами, наличие пружины и шара 3 можно не учитывать.
$mv_{0} = mv_{1} - mv^{ \prime}$ (1)
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv^{ \prime 2}}{2}$.
Сократив (1) на $m$, а (2) на $\frac{m}{2}$ возведем обе части (1) и квадрат и вычтем из получившегося равенства уравнение (2). Получим: $2v_{1}v^{ \prime} = 0$. Поскольку $v_{1} = 0$, имеем $v^{ \prime} = 0$, то есть налетающий шар после удара останавливается и, согласно (2) или (1), шар 2 сразу после удара приобретает скорость $v_{0}$: $v_{1} > v_{0}$.
Запишем законы сохранения импульса и энергии для состояний II и III. При этом, согласно условию максимального сжатия пружины, скорости шаров 2 и 3 равны. Действительно, в момент наибольшего сжатия шары друг относительно друга перестают двигаться (в противном случае происходило бы досжатие пружины), то есть движутся как одно тело. Введем обозначение $v_{2} = v_{3} = v$. Получаем:
$mv_{0} = 2mv$ (3)
$\frac{mv_{2}^{2}}{2} = 2 \frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2}$,
где $\frac{kx^{2}}{2}$ — потенциальная энергия сжатой пружины, величина максимальной деформации (сжатия). Из (3, 4) находим:
$x = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{2k}}$,
Следует обратить внимание на полученный промежуточный результат: при упругом лобовом ударе двух шаров, один из которых до удара покоился, шары обмениваются скоростями — налетающий останавливается, а покоящийся приобретает скорость налетающего. Можно показать, что и в случае, когда оба шара движутся, после лобового упругого удара они обмениваются скоростями (при расчете удобно перейти в систему отсчета, связанную с одним из шаров).
Второй вариант решения основан на записи закона сохранения энергии при переходе из состояния I в II и из II в III в системе отсчета, которая движется со скоростью $\frac{ \vec{v}_{0}}{2}$ (в системе центра масс шаров).
В первом случае имеем два шара, движущиеся навстречу друг другу со скоростями $\frac{ \vec{v}_{0}}{2}$ и $— \frac{ \vec{v}_{0}}{2}$, которые после удара обмениваются скоростями. При обратном переходе в систему отсчета Земли получаем $v^{ \prime} = 0$ и $v_{1} = v_{0}$.
Во втором случае в движущейся системе отсчета имеем два шара, скрепленные пружиной, которые в начальный момент также имеют скорости $\frac{v_{0}}{2}$, направленные навстречу друг другу. При этом максимальном сжатии шары останавливаются, и закон сохранения энергии
$2 \frac{m \left ( \frac{v_{0}}{2} \right )^{2}}{2} = \frac{kx^{2}}{2}$
приводит к прежнему результату: $x = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{2k}}$.
На неподвижную систему, состоящую из двух одинаковых шаров массой $m$ каждый, соединенных пружиной жесткостью $k$, со скоростью $v_{0}$ налетает другой такой же шар. Удар упругий, центральный. Все три шара находятся на одной прямой. Найти максимальное сжатие пружины. Внешними силами пренебречь.
Решение:
Включим в рассмотрение три состояния системы: I — начальное; II — в момент времени сразу после удара, когда соединенные пружиной шары практически не успели сдвинуться; III — конечное, в момент времени, когда пружина максимально сжата.
Запишем законы сохранения импульса (в проекции на ось х) и энергии для состояний I и II. При этом предполагаем, что время удара весьма мало, так что смещением шара 2 можно пренебречь и, следовательно, пружина недеформирована, а шар 3 остается и покое. Иными словами, наличие пружины и шара 3 можно не учитывать.
$mv_{0} = mv_{1} - mv^{ \prime}$ (1)
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv^{ \prime 2}}{2}$.
Сократив (1) на $m$, а (2) на $\frac{m}{2}$ возведем обе части (1) и квадрат и вычтем из получившегося равенства уравнение (2). Получим: $2v_{1}v^{ \prime} = 0$. Поскольку $v_{1} = 0$, имеем $v^{ \prime} = 0$, то есть налетающий шар после удара останавливается и, согласно (2) или (1), шар 2 сразу после удара приобретает скорость $v_{0}$: $v_{1} > v_{0}$.
Запишем законы сохранения импульса и энергии для состояний II и III. При этом, согласно условию максимального сжатия пружины, скорости шаров 2 и 3 равны. Действительно, в момент наибольшего сжатия шары друг относительно друга перестают двигаться (в противном случае происходило бы досжатие пружины), то есть движутся как одно тело. Введем обозначение $v_{2} = v_{3} = v$. Получаем:
$mv_{0} = 2mv$ (3)
$\frac{mv_{2}^{2}}{2} = 2 \frac{mv^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2}$,
где $\frac{kx^{2}}{2}$ — потенциальная энергия сжатой пружины, величина максимальной деформации (сжатия). Из (3, 4) находим:
$x = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{2k}}$,
Следует обратить внимание на полученный промежуточный результат: при упругом лобовом ударе двух шаров, один из которых до удара покоился, шары обмениваются скоростями — налетающий останавливается, а покоящийся приобретает скорость налетающего. Можно показать, что и в случае, когда оба шара движутся, после лобового упругого удара они обмениваются скоростями (при расчете удобно перейти в систему отсчета, связанную с одним из шаров).
Второй вариант решения основан на записи закона сохранения энергии при переходе из состояния I в II и из II в III в системе отсчета, которая движется со скоростью $\frac{ \vec{v}_{0}}{2}$ (в системе центра масс шаров).
В первом случае имеем два шара, движущиеся навстречу друг другу со скоростями $\frac{ \vec{v}_{0}}{2}$ и $— \frac{ \vec{v}_{0}}{2}$, которые после удара обмениваются скоростями. При обратном переходе в систему отсчета Земли получаем $v^{ \prime} = 0$ и $v_{1} = v_{0}$.
Во втором случае в движущейся системе отсчета имеем два шара, скрепленные пружиной, которые в начальный момент также имеют скорости $\frac{v_{0}}{2}$, направленные навстречу друг другу. При этом максимальном сжатии шары останавливаются, и закон сохранения энергии
$2 \frac{m \left ( \frac{v_{0}}{2} \right )^{2}}{2} = \frac{kx^{2}}{2}$
приводит к прежнему результату: $x = v_{0} \sqrt{ \frac{m}{2k}}$.
