Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14208
2020-05-14 
Кольцо, изготовленное из однородного резинового жгута длиной $l$, массой $m$ и жесткостью $k$, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси. проходящей через центр кольца, с угловой скоростью $\omega$. Найдите радиус $R$ вращающегося кольца.
Решение:
Рассмотрим элементарный участок вращающегося кольца длиной $\Delta L$ и массой $\Delta m = \frac{m \Delta L}{2 \pi R}$. На выделенный участок действуют силы упругости $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ (рис.), направленные по касательным к кольцу и одинаковые по модулю: $T_{1} = T_{2} = T$. По второму закону Ньютона,
$\Delta m \vec{a} = \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}$.
Рассматриваемый участок равномерно движется по окружности; следовательно, его ускорение в любой момент времени направлено к центру окружности и по величине равно $\omega^{2} R$. Это ускорение сообщается суммой сил $\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}$, приложенных к участку.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях сил и ускорений на радиальное направление:
$\frac{m \Delta L}{2 \pi R} \omega^{2}R = 2T \sin \frac{ \alpha }{2}$.
Величина $T$ упругой силы (силы натяжения) связана с удлинением $(2 \pi R - l)$ кольца законом Гука:
$T = k(2 \pi R - l)$.
При малых углах $\sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \Delta L}{ 2R}$. С учетом этих соотношений уравнение движения принимает вид
$\frac{m}{2 \pi} \omega^{2} \Delta L = 2k(2 \pi R - l) \frac{ \Delta L}{2R}$.
Отсюда
$R = \frac{2 \pi kl}{4 \pi^{2} k - \omega^{2} m }$.
Из полученного выражения следует, что при $\omega = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m}}$ кольцо должно неограниченно растягиваться. Однако этого не случится, так как закон Гука нарушится уже при небольших удлинениях, а при некоторой скорости вращения кольцо просто разорвется.
Кольцо, изготовленное из однородного резинового жгута длиной $l$, массой $m$ и жесткостью $k$, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси. проходящей через центр кольца, с угловой скоростью $\omega$. Найдите радиус $R$ вращающегося кольца.
Решение:
Рассмотрим элементарный участок вращающегося кольца длиной $\Delta L$ и массой $\Delta m = \frac{m \Delta L}{2 \pi R}$. На выделенный участок действуют силы упругости $\vec{T}_{1}$ и $\vec{T}_{2}$ (рис.), направленные по касательным к кольцу и одинаковые по модулю: $T_{1} = T_{2} = T$. По второму закону Ньютона,
$\Delta m \vec{a} = \vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}$.
Рассматриваемый участок равномерно движется по окружности; следовательно, его ускорение в любой момент времени направлено к центру окружности и по величине равно $\omega^{2} R$. Это ускорение сообщается суммой сил $\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2}$, приложенных к участку.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях сил и ускорений на радиальное направление:
$\frac{m \Delta L}{2 \pi R} \omega^{2}R = 2T \sin \frac{ \alpha }{2}$.
Величина $T$ упругой силы (силы натяжения) связана с удлинением $(2 \pi R - l)$ кольца законом Гука:
$T = k(2 \pi R - l)$.
При малых углах $\sin \frac{ \alpha}{2} \approx \frac{ \alpha}{2} = \frac{ \Delta L}{ 2R}$. С учетом этих соотношений уравнение движения принимает вид
$\frac{m}{2 \pi} \omega^{2} \Delta L = 2k(2 \pi R - l) \frac{ \Delta L}{2R}$.
Отсюда
$R = \frac{2 \pi kl}{4 \pi^{2} k - \omega^{2} m }$.
Из полученного выражения следует, что при $\omega = 2 \pi \sqrt{ \frac{k}{m}}$ кольцо должно неограниченно растягиваться. Однако этого не случится, так как закон Гука нарушится уже при небольших удлинениях, а при некоторой скорости вращения кольцо просто разорвется.
