2014-05-31
Как надо бросить камень с поверхности Земли, чтобы он пролетел через точки с координатами $ x_{1} = 10 м, y_{1}= 10 м$ и $x_{2} = 20 м, y_{2} = 10 м$? Координаты точки бросания $x_{0} = 0, y_{0} = 0$. Ось х направлена горизонтально, ось y - вертикально. Ускорение свободного падения принять равным $10 м/с^{2}$, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Любое тело в поле тяготения Земли двигается с ускорением $\bar{g}$, направленным вниз. Его положение в любой произвольный момент времени $t$ определяется радиус-вектором $\bar{r}$, который с течением времени меняется но закону
$\bar{r} = \bar{v_{0}} t + \bar{g}t^{2}/2$, (1)
где $\bar{v_{0}}$ - начальная скорость. Проецируя уравнение (1) на оси координат, получаем:
$x=v_{0x}t,y=v_{0y}t-gt^{2}/2$.
Исключая из этих двух уравнений время, находим уравнение траектории
$y=\frac{v_{0y}}{v_{0x}} x - \frac{g}{2v_{0x}^{2}} x^{2}$, (2)
Которое содержит искомые величины $v_{0x}$ и $v_{0y}$.
Так как точки с координатами $x_{1}, y_{1}$ и $x_{2}, y_{2}$ по условию задачи должны принадлежать траектории камня, то эти координаты удовлетворяют уравнению (2), т. е. справедливы следующие равенства:
$y_{1}=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x_{1}- \frac{g}{2v_{0x}^{2}}x^{2}_{1},y_{2}=\frac{v_{0y}}{v_{0x}}x_{2} - \frac{g}{2v^{2}_{0x}}x^{2}_{2}$. (3)
Решая эту систему уравнений, находим:
$v_{0x} = \sqrt{\frac{g}{2} \frac{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})}{y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}}$,
$v_{0y}=\sqrt{\frac{g}{2} \frac{x_{1}{y_{1}^{2} (x_{2} – x_{1})}}{x_{1}(y_{1}x_{2} – y_{2}x_{1})}} + \sqrt{\frac{g}{2} \frac{x_{1} (y_{1}x_{2} – y_{2} x_{1})}{x_{2}(x_{2}-x_{1})}}$.
Подставляя сюда исходные данные задачи, получаем:
$v_{0x}=10/ , v_{0y}=15/$.