Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14196
2020-04-23 
Используя разложение химического потенциала кристалла в ряд по степеням параметра упорядочения $\xi$ вблизи точки Кюри, найдите скачки коэффициентов теплового расширения и изотермической сжимаемости.
Решение:
Вблизи точки Кюри парциальный химический потенциал кристалла можно представить в виде:
$\eta = \eta_{0} - \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta }$, (1)
где $\eta_{0}$ - потенциал в неупорядоченном состоянии; $\alpha (p, T)$ и $\beta (p, T)$ - коэффициенты разложения $\eta (p, T, \xi )$ в ряд по степеням $\xi$.
Молярный объем $V$ определяем из равенства
$V = \left ( \frac{ \partial \eta}{ \partial p} \right )_{T}$, (2)
с помощью которого находим:
$V = V_{0} - \frac{ \alpha}{ \beta } \left ( \frac{ \partial \alpha }{ \partial p } \right )_{T} + \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta^{2} } \left ( \frac{ \partial \beta }{ \partial p} \right )_{T}$ (3)
($V_{0}$ - молярный объем неупорядоченного состояния).
Дифференцируя выражение (3) еще раз по температуре и учитывая, что в точке Кюри $\alpha (p_{C}, T_{C}) = 0$, для скачка коэффициента теплового расширения получим:
$\Delta \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} = \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} - \left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial T} \right )_{p} = - \frac{1}{ \beta } \left ( \frac{ \partial \alpha }{ \partial T} \right )_{p}^{2} \frac{dT}{dp}$
(производная $\frac{dT}{dp}$ берется вдоль кривой точек Кюри). Аналогично из выражения (3) для скачка $\left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T}$ в точке Кюри найдем:
$\left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} - \left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial p} \right )_{T} = - \frac{1}{ \beta } \left ( \frac{ \partial \alpha }{ \partial p } \right )_{T}^{2}$.
И так как $\beta (p_{C}, T_{C}) > 0$, то
$\Delta \left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} = \left [ \left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} - \left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial p} \right )_{T} \right ] < 0$.
Здесь $\left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial p} \right )_{T}$ - значение рассматриваемой величины в неупорядоченном состоянии.
Используя разложение химического потенциала кристалла в ряд по степеням параметра упорядочения $\xi$ вблизи точки Кюри, найдите скачки коэффициентов теплового расширения и изотермической сжимаемости.
Решение:
Вблизи точки Кюри парциальный химический потенциал кристалла можно представить в виде:
$\eta = \eta_{0} - \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta }$, (1)
где $\eta_{0}$ - потенциал в неупорядоченном состоянии; $\alpha (p, T)$ и $\beta (p, T)$ - коэффициенты разложения $\eta (p, T, \xi )$ в ряд по степеням $\xi$.
Молярный объем $V$ определяем из равенства
$V = \left ( \frac{ \partial \eta}{ \partial p} \right )_{T}$, (2)
с помощью которого находим:
$V = V_{0} - \frac{ \alpha}{ \beta } \left ( \frac{ \partial \alpha }{ \partial p } \right )_{T} + \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta^{2} } \left ( \frac{ \partial \beta }{ \partial p} \right )_{T}$ (3)
($V_{0}$ - молярный объем неупорядоченного состояния).
Дифференцируя выражение (3) еще раз по температуре и учитывая, что в точке Кюри $\alpha (p_{C}, T_{C}) = 0$, для скачка коэффициента теплового расширения получим:
$\Delta \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} = \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} - \left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial T} \right )_{p} = - \frac{1}{ \beta } \left ( \frac{ \partial \alpha }{ \partial T} \right )_{p}^{2} \frac{dT}{dp}$
(производная $\frac{dT}{dp}$ берется вдоль кривой точек Кюри). Аналогично из выражения (3) для скачка $\left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T}$ в точке Кюри найдем:
$\left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} - \left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial p} \right )_{T} = - \frac{1}{ \beta } \left ( \frac{ \partial \alpha }{ \partial p } \right )_{T}^{2}$.
И так как $\beta (p_{C}, T_{C}) > 0$, то
$\Delta \left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} = \left [ \left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} - \left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial p} \right )_{T} \right ] < 0$.
Здесь $\left ( \frac{ \partial V_{0} }{ \partial p} \right )_{T}$ - значение рассматриваемой величины в неупорядоченном состоянии.
