Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14193
2020-04-23 
Раствор с концентрацией растворенного вещества $c \equiv \frac{n}{N} \ll 1$ находится в однородном поле тяжести с ускорением $g$. Определите зависимость концентрации от высоты, считая температуру постоянной.
Решение:
В однородном поле тяжести условия равновесия для растворителя и растворенного вещества при $T = const$ имеют вид:
$\mu_{0} - kTc + Mgz = const$,
$kT ln c + \phi_{1} (p,T) + mgz = const$
(здесь $M$ - масса молекулы растворителя; $m$ - масса молекулы растворенного вещества).
Дифференцируя эти равенства по $z$ и учитывая, что объем раствора
$V = \left ( \frac{ \partial \Phi}{ \partial p} \right )_{T} = N \left ( \frac{ \partial \mu_{0} }{ \partial p} \right )_{T} + n \left ( \frac{ \partial \phi_{1} }{ \partial p} \right )_{T}$.
получаем следующее дифференциальное уравнение для концентрации:
$\frac{1}{C} \frac{dc}{dz} + \frac{V_{1} }{V_{0} } \frac{dc}{dz} = \frac{g}{kT} \left ( M \frac{V_{1} }{V_{0} } - m \right )$ (1)
($V_{0}$ и $V_{1}$ здесь объемы, приходящиеся на одну молекулу растворителя и растворенного вещества).
В результате интегрирования выражения (1) по $c$ в первом приближении имеем:
$c = c_{0} e^{ - \left ( m - M \frac{V_{1} }{V_{0} } \right ) \frac{gz}{kT} }$,
где $c_{0}$ - концентрация при $z = 0$.
Раствор с концентрацией растворенного вещества $c \equiv \frac{n}{N} \ll 1$ находится в однородном поле тяжести с ускорением $g$. Определите зависимость концентрации от высоты, считая температуру постоянной.
Решение:
В однородном поле тяжести условия равновесия для растворителя и растворенного вещества при $T = const$ имеют вид:
$\mu_{0} - kTc + Mgz = const$,
$kT ln c + \phi_{1} (p,T) + mgz = const$
(здесь $M$ - масса молекулы растворителя; $m$ - масса молекулы растворенного вещества).
Дифференцируя эти равенства по $z$ и учитывая, что объем раствора
$V = \left ( \frac{ \partial \Phi}{ \partial p} \right )_{T} = N \left ( \frac{ \partial \mu_{0} }{ \partial p} \right )_{T} + n \left ( \frac{ \partial \phi_{1} }{ \partial p} \right )_{T}$.
получаем следующее дифференциальное уравнение для концентрации:
$\frac{1}{C} \frac{dc}{dz} + \frac{V_{1} }{V_{0} } \frac{dc}{dz} = \frac{g}{kT} \left ( M \frac{V_{1} }{V_{0} } - m \right )$ (1)
($V_{0}$ и $V_{1}$ здесь объемы, приходящиеся на одну молекулу растворителя и растворенного вещества).
В результате интегрирования выражения (1) по $c$ в первом приближении имеем:
$c = c_{0} e^{ - \left ( m - M \frac{V_{1} }{V_{0} } \right ) \frac{gz}{kT} }$,
где $c_{0}$ - концентрация при $z = 0$.
