Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14191
2020-04-23 
Определите условия равновесия двухфазной системы из разных веществ.
Решение:
Пусть двухфазную систему составляют вода и керосин. Энтропия такой системы
$S = N_{1}s_{1} + N_{2}s_{2}$,
где $N_{1}, N_{2}, s_{1}, s_{2}$ - соответственно число частиц и энтропия, отнесенная к одной частице воды и керосина. Очевидно, $N_{1} = const, N_{2} = const$.
$U = N_{1}u_{1} + N_{2}u_{2} = const$,
$V = N_{1}V_{1} + N_{2}V_{2} = const$.
Таким образом, число независимых параметров у такой системы равно двум, это могут быть, например, $u_{1}$ и $V_{1}$.
Конкретные условия равновесия легко найти, используя максимум энтропии при равновесии, т. е.
$\delta S = 0$, (1)
причем $\delta N_{1} = \delta N_{2} = 0, \delta U = 0, \delta V = 0$. Ho $\delta U = N_{1} \delta u_{1} + N_{2} \delta u_{2} = 0$, откуда $\delta u_{2} = - \frac{N_{1} }{N_{2} } \delta u_{1}$, a $\delta V = N_{1} \delta V_{1} + N_{2} \delta V_{2}$, значит, $\delta V_{2} = - \frac{N_{1} }{N_{2} } \delta V_{1}$. Раскрывая условие (1), получим:
$N_{1} \delta s_{1} + N_{2} \delta s_{2} = 0$.
Но
$\delta s_{1} = \frac{ \delta u_{1} + p_{1} \delta V_{1} }{T_{1} }$ и $\delta s_{2} = \frac{ \delta u_{2} + p_{2} \delta V_{2} }{T_{2} }$.
Тогда
$N_{1} \frac{ \delta u_{1} + p_{1} \delta V_{1} }{T_{1} } + N_{2} \frac{ \delta u_{2} + p_{2} \delta V_{2} }{T_{2} } = 0$,
или, учитывая выражения $\delta u_{2}, \delta V_{2}$, будем иметь:
$\left ( \frac{1}{T_{1} } - \frac{1}{T_{2}} \right ) N_{1} \delta u_{1} + N_{2} \left ( \frac{p_{1} }{T_{1} } - \frac{p_{2} }{T_{2} } \right ) \delta V_{1} = 0$.
Это равенство возможно лишь при условиях:
$\frac{1}{T_{1} } - \frac{1}{T_{2} } = 0, \frac{p_{1} }{T_{1} } - \frac{p_{2} }{T_{2} } = 0$,
откуда
$T_{1} = T_{2}, p_{1} = p_{2}$.
Таким образом, для равновесия в указанной системе необходимо и достаточно равенства давлений и температур в обеих фазах; на химические потенциалы разных компонент никакого условия не накладывается.
Определите условия равновесия двухфазной системы из разных веществ.
Решение:
Пусть двухфазную систему составляют вода и керосин. Энтропия такой системы
$S = N_{1}s_{1} + N_{2}s_{2}$,
где $N_{1}, N_{2}, s_{1}, s_{2}$ - соответственно число частиц и энтропия, отнесенная к одной частице воды и керосина. Очевидно, $N_{1} = const, N_{2} = const$.
$U = N_{1}u_{1} + N_{2}u_{2} = const$,
$V = N_{1}V_{1} + N_{2}V_{2} = const$.
Таким образом, число независимых параметров у такой системы равно двум, это могут быть, например, $u_{1}$ и $V_{1}$.
Конкретные условия равновесия легко найти, используя максимум энтропии при равновесии, т. е.
$\delta S = 0$, (1)
причем $\delta N_{1} = \delta N_{2} = 0, \delta U = 0, \delta V = 0$. Ho $\delta U = N_{1} \delta u_{1} + N_{2} \delta u_{2} = 0$, откуда $\delta u_{2} = - \frac{N_{1} }{N_{2} } \delta u_{1}$, a $\delta V = N_{1} \delta V_{1} + N_{2} \delta V_{2}$, значит, $\delta V_{2} = - \frac{N_{1} }{N_{2} } \delta V_{1}$. Раскрывая условие (1), получим:
$N_{1} \delta s_{1} + N_{2} \delta s_{2} = 0$.
Но
$\delta s_{1} = \frac{ \delta u_{1} + p_{1} \delta V_{1} }{T_{1} }$ и $\delta s_{2} = \frac{ \delta u_{2} + p_{2} \delta V_{2} }{T_{2} }$.
Тогда
$N_{1} \frac{ \delta u_{1} + p_{1} \delta V_{1} }{T_{1} } + N_{2} \frac{ \delta u_{2} + p_{2} \delta V_{2} }{T_{2} } = 0$,
или, учитывая выражения $\delta u_{2}, \delta V_{2}$, будем иметь:
$\left ( \frac{1}{T_{1} } - \frac{1}{T_{2}} \right ) N_{1} \delta u_{1} + N_{2} \left ( \frac{p_{1} }{T_{1} } - \frac{p_{2} }{T_{2} } \right ) \delta V_{1} = 0$.
Это равенство возможно лишь при условиях:
$\frac{1}{T_{1} } - \frac{1}{T_{2} } = 0, \frac{p_{1} }{T_{1} } - \frac{p_{2} }{T_{2} } = 0$,
откуда
$T_{1} = T_{2}, p_{1} = p_{2}$.
Таким образом, для равновесия в указанной системе необходимо и достаточно равенства давлений и температур в обеих фазах; на химические потенциалы разных компонент никакого условия не накладывается.
