Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14190
2020-04-23 
Идеальный газ находится в адиабатически изолированном цилиндре с поршнем под постоянным внешним давлением $p_{0}$. Вычислив вариации энтропии $\delta S$ и $\delta^{2} S$, покажите, что при равновесии энтропия действительно максимальна.
Решение:
Для идеального газа
$S = C_{V} ln T + R ln V + S_{0}$,
поэтому
$dS = C_{V} \frac{dT}{T} + R \frac{dV}{V}$.
Согласно первому началу термодинамики при адиабатической изоляции
$C_{V}dT = - p_{0} dV$.
Тогда
$dS = \frac{1}{T}(p - p_{0})dV$.
Отсюда видно, что при равновесии ($p = p_{0}$) $dS = 0$, т. е. энтропия экстремальна и
$\delta S = C_{V} \frac{ \delta T}{T} + R \frac{ \delta V}{V}$.
Пусть объем системы изменится на $\delta V$, а температура на $\delta T$. Изменение энтропии системы при этом равно:
$\Delta S = S^{ \prime} - S_{0}^{ \prime} = C_{V} ln \frac{T + \delta T}{T} + R ln \frac{V + \delta V}{V} \approx C_{V} \frac{ \delta T}{T} + R \frac{ \delta V}{V} - \frac{1}{2} \left \{ C_{V} \left ( \frac{ \delta T}{T} \right )^{2} + R \left ( \frac{ \delta V}{V} \right )^{2} \right \} = \delta S + \delta^{2}S$.
Значит, при $\delta S = C_{V} \frac{ \delta T}{T} + R \frac{ \delta V}{V} = 0$ выражение $\delta^{2} S = - \frac{1}{2} \left [ C_{V} \left ( \frac{ \delta T}{T} \right )^{2} + R \left ( \frac{ \delta V}{V} \right )^{2} \right ] < 0$, т. е. энтропия максимальна.
Идеальный газ находится в адиабатически изолированном цилиндре с поршнем под постоянным внешним давлением $p_{0}$. Вычислив вариации энтропии $\delta S$ и $\delta^{2} S$, покажите, что при равновесии энтропия действительно максимальна.
Решение:
Для идеального газа
$S = C_{V} ln T + R ln V + S_{0}$,
поэтому
$dS = C_{V} \frac{dT}{T} + R \frac{dV}{V}$.
Согласно первому началу термодинамики при адиабатической изоляции
$C_{V}dT = - p_{0} dV$.
Тогда
$dS = \frac{1}{T}(p - p_{0})dV$.
Отсюда видно, что при равновесии ($p = p_{0}$) $dS = 0$, т. е. энтропия экстремальна и
$\delta S = C_{V} \frac{ \delta T}{T} + R \frac{ \delta V}{V}$.
Пусть объем системы изменится на $\delta V$, а температура на $\delta T$. Изменение энтропии системы при этом равно:
$\Delta S = S^{ \prime} - S_{0}^{ \prime} = C_{V} ln \frac{T + \delta T}{T} + R ln \frac{V + \delta V}{V} \approx C_{V} \frac{ \delta T}{T} + R \frac{ \delta V}{V} - \frac{1}{2} \left \{ C_{V} \left ( \frac{ \delta T}{T} \right )^{2} + R \left ( \frac{ \delta V}{V} \right )^{2} \right \} = \delta S + \delta^{2}S$.
Значит, при $\delta S = C_{V} \frac{ \delta T}{T} + R \frac{ \delta V}{V} = 0$ выражение $\delta^{2} S = - \frac{1}{2} \left [ C_{V} \left ( \frac{ \delta T}{T} \right )^{2} + R \left ( \frac{ \delta V}{V} \right )^{2} \right ] < 0$, т. е. энтропия максимальна.
