ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-04-23   
Найдите для равновесного излучения следующие характеристические функции: внутреннюю энергию $U$, свободную энергию $F$, термодинамический потенциал $\Phi$, энтальпию $I$.


Решение:


Функции $U, F, \Phi , I$ являются характеристическими, если они выражены соответственно в переменных:

$U = U(S,V), F = F(T,V), \Phi = \Phi (T, p), I = I(p,S)$.

Для равновесного излучения плотность энергии по закону Стефана - Больцмана пропорциональна четвертой степени температуры, поэтому внутренняя энергия $U$ равна

$U = \sigma T^{4} V$.

Однако это выражение не является характеристической функцией. Необходимо выразить $T$ через параметры $S$ и $V$. Из выражения энтропии излучения

$S = \frac{4}{3} \sigma T^{3} V$

находим:

$T = \left ( \frac{3S}{4 \sigma V} \right )^{1/3}$.

Тогда

$U = \sigma V \left ( \frac{3S}{4 \sigma V} \right )^{4/3}$.

Свободная энергия

$F = U - TS = \sigma T^{4}V - T \cdot \frac{4}{3} \sigma T^{3} V = - \frac{1}{3} \sigma T^{4}V$.

Термодинамический потенциал

$\Phi = F + pV = - \frac{1}{3} \sigma T^{4}V + \frac{1}{3} \sigma T^{4}V = 0$.

Энтальпия

$I = U + pV = \frac{4}{3} \sigma T^{4}V = TS = S \left ( \frac{3p}{ \sigma} \right )^{1/4}$.