Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14176
2020-04-23 
Получите выражение для плотности внутренней энергии $u = u(T, E)$ диэлектрика, считая, что его электрическая поляризация $P$ зависит от абсолютной температуры и напряженности электрического поля; изменением удельного объема пренебречь.
Решение:
$\delta Q = Tds$, где $s$ - энтропия единицы объема диэлектрика. По первому началу термодинамики имеем:
$\delta Q = du - E dP$.
Но, с другой стороны,
$ds = \left ( \frac{ds}{ \partial E} \right )_{T} dE + \left ( \frac{ \partial s}{ \partial T} \right )_{E} dT$.
Из равенства смешанных производных $\frac{ \partial^{2} s }{ \partial E \partial T} = \frac{ \partial^{2} s }{ \partial T \partial E }$ следует
$\left ( \frac{ \partial u}{ \partial E} \right )_{T} = E \left ( \frac{ \partial P}{ \partial E} \right )_{T} + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{E}$,
значит,
$du = \left ( \frac{ \partial u}{ \partial T} \right ) dT + \left [ E \left ( \frac{ \partial P}{ \partial E} \right )_{T} + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{E} \right ] dE$.
Интегрируя последнее выражение, получим:
$u(T,E) = \int_{0}^{E} \left [ E \left ( \frac{ \partial P}{ \partial E} \right )_{T} + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{E} \right ] dE + u(0,T)$,
где $u(0, T)$ - плотность внутренней энергии диэлектрика в отсутствие электрического поля.
Получите выражение для плотности внутренней энергии $u = u(T, E)$ диэлектрика, считая, что его электрическая поляризация $P$ зависит от абсолютной температуры и напряженности электрического поля; изменением удельного объема пренебречь.
Решение:
$\delta Q = Tds$, где $s$ - энтропия единицы объема диэлектрика. По первому началу термодинамики имеем:
$\delta Q = du - E dP$.
Но, с другой стороны,
$ds = \left ( \frac{ds}{ \partial E} \right )_{T} dE + \left ( \frac{ \partial s}{ \partial T} \right )_{E} dT$.
Из равенства смешанных производных $\frac{ \partial^{2} s }{ \partial E \partial T} = \frac{ \partial^{2} s }{ \partial T \partial E }$ следует
$\left ( \frac{ \partial u}{ \partial E} \right )_{T} = E \left ( \frac{ \partial P}{ \partial E} \right )_{T} + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{E}$,
значит,
$du = \left ( \frac{ \partial u}{ \partial T} \right ) dT + \left [ E \left ( \frac{ \partial P}{ \partial E} \right )_{T} + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{E} \right ] dE$.
Интегрируя последнее выражение, получим:
$u(T,E) = \int_{0}^{E} \left [ E \left ( \frac{ \partial P}{ \partial E} \right )_{T} + T \left ( \frac{ \partial P}{ \partial T} \right )_{E} \right ] dE + u(0,T)$,
где $u(0, T)$ - плотность внутренней энергии диэлектрика в отсутствие электрического поля.
