Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14168
2020-04-23 
Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовавшись теоремой Карно, докажите, что для однородной изотропной системы между термическим и калорическим уравнениями состояния существует следующая зависимость:
$\left ( \frac{ \partial U}{ \partial x} \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} - Y$,
где $x$ - обобщенная координата; $Y$ - соответствующая обобщенная сила.
Решение:
Изобразим на диаграмме $Y, x$ две бесконечно близкие адиабаты ВС и DA и изотермы АВ и CD (рис.). Количество теплоты $Q_{1}$ полученной системой на изотерме АВ, равно $Q_{1} = A_{1} + \Delta U$, где $A_{1} = Y \Delta x$ - работа, совершенная системой по изотерме АВ: $\Delta U = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial x} \right )_{T} \Delta x$ - изменение внутренней энергии для данного процесса.
Работа за цикл численно равна площади фигуры ABCD, которую с большой степенью точности можно считать параллелограммом. Поэтому
$A = S_{ABCD} \approx S_{ABC^{ \prime} D^{ \prime} } \approx \Delta Y \Delta x$,
причем
$\Delta Y \approx AD^{ \prime} = \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} \Delta T, \Delta T = T_{1} - T_{2}$.
Согласно теореме Карно имеем:
$\frac{A}{Q_{1} } = \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} }$.
Подставляя сюда выражение для
$Q = \left [ Y + \left ( \frac{ \partial U }{ \partial x} \right ) \right ] \Delta x$ и $A = \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} \Delta x \cdot \Delta T$, получим:
$\left ( \frac{ \partial Y }{ \partial T} \right )_{x} = \frac{1}{T} \left [ \left ( \frac{ \partial U}{ \partial x} \right )_{T} + Y \right ]$.
или
$\left ( \frac{ \partial U}{ \partial x } \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} - Y$.
Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно и воспользовавшись теоремой Карно, докажите, что для однородной изотропной системы между термическим и калорическим уравнениями состояния существует следующая зависимость:
$\left ( \frac{ \partial U}{ \partial x} \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} - Y$,
где $x$ - обобщенная координата; $Y$ - соответствующая обобщенная сила.
Решение:
Изобразим на диаграмме $Y, x$ две бесконечно близкие адиабаты ВС и DA и изотермы АВ и CD (рис.). Количество теплоты $Q_{1}$ полученной системой на изотерме АВ, равно $Q_{1} = A_{1} + \Delta U$, где $A_{1} = Y \Delta x$ - работа, совершенная системой по изотерме АВ: $\Delta U = \left ( \frac{ \partial U}{ \partial x} \right )_{T} \Delta x$ - изменение внутренней энергии для данного процесса.
Работа за цикл численно равна площади фигуры ABCD, которую с большой степенью точности можно считать параллелограммом. Поэтому
$A = S_{ABCD} \approx S_{ABC^{ \prime} D^{ \prime} } \approx \Delta Y \Delta x$,
причем
$\Delta Y \approx AD^{ \prime} = \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} \Delta T, \Delta T = T_{1} - T_{2}$.
Согласно теореме Карно имеем:
$\frac{A}{Q_{1} } = \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} }$.
Подставляя сюда выражение для
$Q = \left [ Y + \left ( \frac{ \partial U }{ \partial x} \right ) \right ] \Delta x$ и $A = \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} \Delta x \cdot \Delta T$, получим:
$\left ( \frac{ \partial Y }{ \partial T} \right )_{x} = \frac{1}{T} \left [ \left ( \frac{ \partial U}{ \partial x} \right )_{T} + Y \right ]$.
или
$\left ( \frac{ \partial U}{ \partial x } \right )_{T} = T \left ( \frac{ \partial Y}{ \partial T} \right )_{x} - Y$.
