Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14166
2020-04-23 
Покажите, используя метод циклов, что абсолютная термодинамическая шкала температур совпадает с температурной шкалой газа, состояние которого описывается уравнением Ван-дер-Ваальса.
Решение:
Рассмотрим обратимый цикл Карно, в котором рабочим телом является газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса (рис.). С помощью выражения
$\delta Q = C_{V}dT^{*} + T^{*} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} dV$ ($C_{V} = const$)
и уравнения Ван-дер-Ваальса
$p = \frac{RT^{*}}{V - b} - \frac{a}{V^{2} }$,
где $T^{*}$ - температура по газовой шкале, определим количество тепла $Q_{1}$, полученного телом от нагревателя по изотерме $A \rightarrow B$
$(dT^{*} = 0 )$:
$Q_{1} = \int_{A}^{B} \frac{RT_{1}^{*} }{V - b} dV = RT_{1}^{*} ln \frac{V_{B} - b }{V_{A} - b }$.
Количество тепла $Q_{2}$, отданного телом холодильнику при изотермическом сжатии, равно
$Q_{2} = RT_{2}^{*} ln \frac{V_{C} - b }{V_{D} - b }$.
Отношение этих величин
$\frac{Q_{2} }{Q_{1} } = \frac{T_{2}^{*} }{T_{1}^{*} } \frac{ln \frac{V_{C} - b }{V_{D} - b } }{ ln \frac{V_{B} - b}{V_{A} - b } } = \frac{T_{2}^{*} }{T_{1}^{*} }$.
(При получении последнего соотношения мы использовали уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса.)
Согласно второму началу термодинамики для обратимого цикла
$\frac{Q_{2}}{Q_{1} } = \frac{T_{2} }{T_{1} }$,
где $T$ - термодинамическая температура.
Таким образом, получаем:
$T_{1} = \frac{T_{1}^{*} }{T_{2}^{*} } T_{2}$,
т. е. если газовые и термодинамические шкалы совместить в некоторой произвольной точке, где $T_{2}^{*} = T_{2}$, то газовая шкала совпадет с абсолютной термодинамической шкалой температур
$T_{1} = T_{1}^{*}$.
Покажите, используя метод циклов, что абсолютная термодинамическая шкала температур совпадает с температурной шкалой газа, состояние которого описывается уравнением Ван-дер-Ваальса.
Решение:
Рассмотрим обратимый цикл Карно, в котором рабочим телом является газ, подчиняющийся уравнению Ван-дер-Ваальса (рис.). С помощью выражения
$\delta Q = C_{V}dT^{*} + T^{*} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} dV$ ($C_{V} = const$)
и уравнения Ван-дер-Ваальса
$p = \frac{RT^{*}}{V - b} - \frac{a}{V^{2} }$,
где $T^{*}$ - температура по газовой шкале, определим количество тепла $Q_{1}$, полученного телом от нагревателя по изотерме $A \rightarrow B$
$(dT^{*} = 0 )$:
$Q_{1} = \int_{A}^{B} \frac{RT_{1}^{*} }{V - b} dV = RT_{1}^{*} ln \frac{V_{B} - b }{V_{A} - b }$.
Количество тепла $Q_{2}$, отданного телом холодильнику при изотермическом сжатии, равно
$Q_{2} = RT_{2}^{*} ln \frac{V_{C} - b }{V_{D} - b }$.
Отношение этих величин
$\frac{Q_{2} }{Q_{1} } = \frac{T_{2}^{*} }{T_{1}^{*} } \frac{ln \frac{V_{C} - b }{V_{D} - b } }{ ln \frac{V_{B} - b}{V_{A} - b } } = \frac{T_{2}^{*} }{T_{1}^{*} }$.
(При получении последнего соотношения мы использовали уравнение адиабаты газа Ван-дер-Ваальса.)
Согласно второму началу термодинамики для обратимого цикла
$\frac{Q_{2}}{Q_{1} } = \frac{T_{2} }{T_{1} }$,
где $T$ - термодинамическая температура.
Таким образом, получаем:
$T_{1} = \frac{T_{1}^{*} }{T_{2}^{*} } T_{2}$,
т. е. если газовые и термодинамические шкалы совместить в некоторой произвольной точке, где $T_{2}^{*} = T_{2}$, то газовая шкала совпадет с абсолютной термодинамической шкалой температур
$T_{1} = T_{1}^{*}$.
