ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-04-23   
Рассматривая бесконечно малый цикл, состоящий из изохоры, изобары и изотермы, определите разность теплоемкостей $C_{p} - C_{V}$ для простой системы с двумя степенями свободы.


Решение:



По первому началу термодинамики работа за цикл равна

$\delta A = \delta Q_{1}^{ \prime} + \delta Q_{1}^{ \prime \prime} - \delta Q_{2}$,

где

$\delta Q_{1}^{ \prime} = C_{V} dT$,
$\delta Q_{1}^{ \prime \prime} = \left [ \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} + p \right ] dV = \left [ \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} + p \right ] \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} dT$,
$\delta Q_{2} = C_{p}dT$;

при написании равенств мы учли, что изменение объема для процесса $b \rightarrow c$ и $a \rightarrow c$ одно и то же (рис.). Из рисунка видно, что

$ab = \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} dT, ac = \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} dT$,

значит,

$\delta A = \frac{1}{2} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} (dT)^{2}$.

Таким образом,

$\frac{1}{2} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} (dT)^{2} = \left \{ C_{V} + \left [ \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V } \right )_{T} + p \right ] \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p} - C_{p} \right \} dT$,

откуда

$C_{p} - C_{V} = \left [ \left ( \frac{ \partial U}{ \partial V} \right )_{T} + p \right ] \left ( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_{p}$.