Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14164
2020-04-23 
Один моль идеального газа с начальным давлением $p_{1}$ и объемом $V_{1}$ свободно адиабатически (без совершения работы) расширяется до объема $V_{2}$. Затем газ квазистатически сжимают до объема $V_{1}$ при постоянном давлении $P_{2}$ и, наконец, квазистатически нагревают при постоянном объеме $V_{1}$ до тех пор, пока давление его не станет равным $p_{1}$. Докажите на примере этого цикла справедливость соотношения Майера (молярную теплоемкость считать постоянной).
Решение:
При свободном адиабатическом расширении газ не совершает работы, при этом тепло также не поглощается. Следовательно, температура остается постоянной: $T_{1} = T_{2}$. Работа, совершаемая газом при переходе $2 \rightarrow 3$ (рис.), равна
$A_{23} = \int_{V_{1} }^{V_{2}} p_{2}dV = - p_{2}(V_{2} - V_{1})$,
температура при этом меняется от $T_{2}$ до $T_{3}$, следовательно, газ охлаждается ($T_{3} < T_{1} = T_{2}$).
Количество теплоты, полученной газом, выразится соотношениями:
$Q_{23} = - C_{p} (T_{2} - T_{3})$,
$Q_{31} = C_{V} (T_{1} - T_{2})$.
Согласно первому началу термодинамики для цикла имеет место равенство
$Q = A$,
т. е.
$- C_{p} (T_{2} - T_{3}) + C_{V} (T_{1} - T_{3} ) = - p_{2}(V_{2} - V_{1} )$.
Из уравнения состояния $pV = RT$ для моля идеального газа имеем:
$p_{2}(V_{2} - V_{1}) = R(T_{1} - T_{3})$.
Подставляя это выражение в предыдущее, получаем:
$C_{p} - C_{V} = R$.
Один моль идеального газа с начальным давлением $p_{1}$ и объемом $V_{1}$ свободно адиабатически (без совершения работы) расширяется до объема $V_{2}$. Затем газ квазистатически сжимают до объема $V_{1}$ при постоянном давлении $P_{2}$ и, наконец, квазистатически нагревают при постоянном объеме $V_{1}$ до тех пор, пока давление его не станет равным $p_{1}$. Докажите на примере этого цикла справедливость соотношения Майера (молярную теплоемкость считать постоянной).
Решение:
При свободном адиабатическом расширении газ не совершает работы, при этом тепло также не поглощается. Следовательно, температура остается постоянной: $T_{1} = T_{2}$. Работа, совершаемая газом при переходе $2 \rightarrow 3$ (рис.), равна
$A_{23} = \int_{V_{1} }^{V_{2}} p_{2}dV = - p_{2}(V_{2} - V_{1})$,
температура при этом меняется от $T_{2}$ до $T_{3}$, следовательно, газ охлаждается ($T_{3} < T_{1} = T_{2}$).
Количество теплоты, полученной газом, выразится соотношениями:
$Q_{23} = - C_{p} (T_{2} - T_{3})$,
$Q_{31} = C_{V} (T_{1} - T_{2})$.
Согласно первому началу термодинамики для цикла имеет место равенство
$Q = A$,
т. е.
$- C_{p} (T_{2} - T_{3}) + C_{V} (T_{1} - T_{3} ) = - p_{2}(V_{2} - V_{1} )$.
Из уравнения состояния $pV = RT$ для моля идеального газа имеем:
$p_{2}(V_{2} - V_{1}) = R(T_{1} - T_{3})$.
Подставляя это выражение в предыдущее, получаем:
$C_{p} - C_{V} = R$.
