ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-04-23   
Найдите выражение для к. п. д. газотурбинной установки через параметры цикла, состоящего из двух адиабатических и двух изобарических процессов. Параметром данного цикла является степень повышения давления $\delta = \frac{p_{2} }{p_{1} }$ при адиабатическом сжатии.


Решение:



Изобразим цикл на диаграмме $p, V$ (рис.). По определению к.п.д. равен $\eta = 1 - \frac{Q_{2} }{Q_{1} }$, где $Q_{1} = C_{p} ( T_{3} - T_{2}), Q_{2} = C_{p} ( T_{4} - T_{1})$. Используя уравнения процессов с идеальным газом, выразим все температуры $T_{i}$ через температуру $T_{1}$.

Уравнения адиабат в переменных $T$ и $p$

$Tp^{ \frac{1 - \gamma }{ \gamma } } = const$,

записанные для процессов $1 \rightarrow 2$ и $3 \rightarrow 4$ определяют температуры

$T_{2} = T_{1} \delta^{ \frac{ \gamma - 1}{ \gamma } }, T_{4} = T_{3} \delta^{ \frac{1}{ \delta} - 1 }$.

Учитывая уравнение изобарического процесса $2 \rightarrow 3$

$\frac{T_{2}}{V_{2} } = \frac{T_{3} }{V_{3} }$,

легко получить соотношения:

$T_{3} = \frac{V_{3} }{V_{2} } T_{2} = T_{1} \frac{V_{3} }{ V_{2}} \delta^{1 - \frac{1}{ \gamma} }$ и $T_{4} = T_{1} \frac{V_{3} }{V_{2} }$.

Подставляя значения $T_{i}$ в выражении $Q_{1}$ и $Q_{2}$, а затем в формулу к.п.д., найдем

$\eta = 1 - \frac{1}{ \delta^{1 - \frac{1}{ \gamma} } }$,

где

$\gamma = \frac{C_{p} }{C_{V} }$.