Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14152
2020-04-23 
Распространение звука в жидкости и газе можно рассматривать приближенно как адиабатический процесс. Тогда скорость звука $v_{s} = \sqrt{ \left ( \frac{ \partial p}{ \partial \rho } \right )_{ад} }$, где $\rho$ - плотность; $\rho$ - давление.
Выразите скорость звука в газе через изотермическую сжимаемость и отношение теплоемкостей $\frac{C_{p} }{C_{V} }$.
Решение:
Пользуясь соотношением $\rho = \frac{ \mu}{V}$, выразим
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial \rho } \right )_{ад}$ через $\left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{ад}$;
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial \rho } \right )_{ад} = - \frac{V^{2} }{ \mu } \left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{ад}$;
С помощью дифференциального уравнения адиабаты находим, что
$dp + \gamma \left ( \frac{ \partial T}{ \partial V } \right )_{p} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} dV = 0$
находим, что
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial V } \right )_{ад}= - \gamma \left ( \frac{ \partial T}{ \partial V} \right )_{p} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{V} $,
или
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial V } \right )_{ад} = \gamma \left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{T}$;
При получении последнего равенства было использовано тождество
$\left ( \frac{ \partial T}{ \partial V} \right )_{p} \left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} = - 1$.
В результате для $v_{s}$ получим:
$v_{s} = \sqrt{ \frac{ \gamma}{ \rho \beta} } \: \: \left ( \gamma = \frac{C_{p} }{C_{V} } \right )$.
Найденное выражение для скорости звука позволяет определить отношение теплоемкостей $\frac{C_{p} }{C_{V} }$, если из опыта известны скорость звука и изотермический коэффициент сжимаемости $\beta$.
Распространение звука в жидкости и газе можно рассматривать приближенно как адиабатический процесс. Тогда скорость звука $v_{s} = \sqrt{ \left ( \frac{ \partial p}{ \partial \rho } \right )_{ад} }$, где $\rho$ - плотность; $\rho$ - давление.
Выразите скорость звука в газе через изотермическую сжимаемость и отношение теплоемкостей $\frac{C_{p} }{C_{V} }$.
Решение:
Пользуясь соотношением $\rho = \frac{ \mu}{V}$, выразим
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial \rho } \right )_{ад}$ через $\left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{ад}$;
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial \rho } \right )_{ад} = - \frac{V^{2} }{ \mu } \left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{ад}$;
С помощью дифференциального уравнения адиабаты находим, что
$dp + \gamma \left ( \frac{ \partial T}{ \partial V } \right )_{p} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} dV = 0$
находим, что
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial V } \right )_{ад}= - \gamma \left ( \frac{ \partial T}{ \partial V} \right )_{p} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{V} $,
или
$\left ( \frac{ \partial p}{ \partial V } \right )_{ад} = \gamma \left ( \frac{ \partial p}{ \partial V} \right )_{T}$;
При получении последнего равенства было использовано тождество
$\left ( \frac{ \partial T}{ \partial V} \right )_{p} \left ( \frac{ \partial V}{ \partial p} \right )_{T} \left ( \frac{ \partial p}{ \partial T} \right )_{V} = - 1$.
В результате для $v_{s}$ получим:
$v_{s} = \sqrt{ \frac{ \gamma}{ \rho \beta} } \: \: \left ( \gamma = \frac{C_{p} }{C_{V} } \right )$.
Найденное выражение для скорости звука позволяет определить отношение теплоемкостей $\frac{C_{p} }{C_{V} }$, если из опыта известны скорость звука и изотермический коэффициент сжимаемости $\beta$.
