Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14134
2020-04-16 
В задачах 14064 и 14079 найден адиабатический температурный градиент воздушной атмосферы, находящейся в тепловом и механическом равновесии, без учета влажности воздуха. Найти значение адиабатического градиента температуры, учитывая выделение теплоты парообразования при конденсации водяных паров при адиабатическом поднятии вверх влажного воздуха. Считать, что температура воздуха значительно ниже температуры кипения воды.
Решение:
Рассмотрим какую-либо порцию воздуха, насыщенного водяными парами. Массу воздуха в ней обозначим $m_{в}$, массу водяного пара $m_{п}$, массу жидкой воды $m_{ж}$. При адиабатическом поднятии энтропия рассматриваемой системы меняться не будет:
$m_{в}s_{в} + m_{п}s_{п} + m_{ж}s_{ж} = const$, (1)
где $s_{в}, s_{п}, s_{ж}$ - удельные энтропии воздуха, водяного пара и жидкой воды соответственно. При этом полное количество воды остается постоянным: $m_{п} + m_{ж} = const$, так что $dm_{ж} = - dm_{п}$. Массу жидкой воды мы должны положить равной нулю, если в рассматриваемом состоянии вся вода существует в виде насыщенного водяного пара. Но, конечно, величина $dm_{ж}$ должна считаться отличной от нуля, так как при поднятии вверх водяные пары конденсируются в жидкие капли. Имея это в виду, из условия (1) получим
$m_{в}ds_{в} + m_{п}ds_{п} + (s_{п} - s_{ж}) dm_{п} = 0$.
Разность удельных энтропий выразим через удельную теплоту испарения $q = T (s_{п} - s_{ж})$. Масса пара $m_{п}$ в рассматриваемой системе зависит только от температуры $T$, так что $dm_{п} = \frac{dm_{п} }{dT} dT$. Для дифференциала удельной энтропии воздуха $ds_{в}$, если учесть, что воздух может считаться идеальным газом, получим такое же выражение, как и в случае сухого воздуха:
$ds_{в} = \frac{c_{P}^{в} }{T} dT - \frac{v_{в} }{T} dP_{в}$.
То же можно написать и для водяного пара. Однако давление насыщенного пара зависит только от температуры, а потому
$ds_{п} = \left ( \frac{c_{P}^{п} }{T} - \frac{v_{п} }{T} \frac{dP_{п} }{dT} \right ) dT$.
Применим к воздуху уравнение гидростатики:
$dP_{в} = - \rho_{в} gdz = - \frac{g}{v_{в} } dz$.
С учетом всего этого получим
$\left [ c_{P}^{в} + \frac{m_{п} }{m_{в} } \left ( c_{P}^{п} - v_{п} \frac{dP_{п} }{dT} + \frac{q}{m_{п} } \frac{dm_{п} }{dT} \right ) \right ] \frac{dT}{dz} = - g$.
В этом соотношении $m_{в}$ и $m_{п}$, очевидно, можно заменить на плотности воздуха и водяного пара $\rho_{в}$ и $\rho_{п}$. Из уравнения Клапейрона $\rho = \frac{ \mu P}{RT}$, а потому
$\frac{m_{п}}{m_{в} } = \frac{ \mu_{п} P_{п}}{ \mu_{в} P_{в}}$,
$\frac{1}{m_{п} } \frac{dm_{п} }{dT} = \frac{1}{ \rho_{п} } \frac{d \rho_{п} }{dT} = \frac{T}{P_{п} } \frac{d}{dT} \left ( \frac{P_{п} }{T} \right ) = \frac{1}{P_{п} } \frac{dP_{п} }{dT} - \frac{1}{T}$.
Выполнив соответствующую подстановку, получим
$\left [ c_{P}^{в} + \frac{ \mu_{п}P_{п} }{ \mu_{в}P_{в} } \left ( c_{P}^{п} - v_{п} \frac{dP_{п} }{dT} - \frac{q}{T} + \frac{q}{P_{п} } \frac{dP_{п} }{dT} \right ) \right ] \frac{dT}{dz} = - g$.
Наконец, воспользуемся уравнением Клапейрона - Клаузиуса в упрощенном виде:
$\frac{dP_{п} }{dT} = \frac{q}{Tv_{п} }$.
В результате найдем
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = \left ( - \frac{g}{c_{P}^{в} } \right ) \frac{1}{ 1 + \frac{ \mu_{п}P_{п} }{ \mu_{в}P_{в}c_{P}^{в} } \left ( c_{P}^{п} - \frac{q}{T} + \frac{ \mu_{п} }{R } \left ( \frac{q }{T} \right )^{2} \right ) }$. (2)
В окончательной формуле (2) мы ввели у температурного градиента индекс "ад", опущенный в промежуточных расчетах.
Удельные теплоемкости воздуха и водяного пара при постоянном давлении вычислим по классической теории, считая воздух Двухатомным, а водяной пар-трехатомным газами. Тогда
$c_{P}^{в} = \frac{7R}{2 \mu_{в}}, c_{P}^{п} = \frac{4R}{ \mu_{п} }$.
Учтем далее, что множитель $- \frac{g}{c_{P_{в}}}$ дает адиабатический градиент температуры для сухого воздуха, который мы обозначим посредством $\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад.сух}$. Тогда формула (2) представится в виде
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = f \left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад.сух} $, (3)
где коэффициент $f$ определяется выражением
$ \frac{1}{f} = 1 + \frac{8}{7} \frac{P_{п} }{P_{в} } \left [ 1 - \frac{q \mu_{п} }{2RT} + \left ( \frac{q \mu_{п} }{2RT} \right )^{2} \right ] $. (4)
Теми же формулами можно пользоваться и в тех случаях, когда при охлаждении водяные пары не конденсируются, а превращаются в лед. Только в этих случаях под $q$ следует понимать удельную теплоту возгонки, равную сумме удельных теплот парообразования и плавления.
Вычисленные значения коэффициента $f$ при различных температурах для двух значений полного давления приведены в следующей таблице:
Из таблицы видно, насколько существенно влияние влажности, если адиабатические процессы в атмосфере сопровождаются кондесациеи или замерзанием водяных паров.
В задачах 14064 и 14079 найден адиабатический температурный градиент воздушной атмосферы, находящейся в тепловом и механическом равновесии, без учета влажности воздуха. Найти значение адиабатического градиента температуры, учитывая выделение теплоты парообразования при конденсации водяных паров при адиабатическом поднятии вверх влажного воздуха. Считать, что температура воздуха значительно ниже температуры кипения воды.
Решение:
Рассмотрим какую-либо порцию воздуха, насыщенного водяными парами. Массу воздуха в ней обозначим $m_{в}$, массу водяного пара $m_{п}$, массу жидкой воды $m_{ж}$. При адиабатическом поднятии энтропия рассматриваемой системы меняться не будет:
$m_{в}s_{в} + m_{п}s_{п} + m_{ж}s_{ж} = const$, (1)
где $s_{в}, s_{п}, s_{ж}$ - удельные энтропии воздуха, водяного пара и жидкой воды соответственно. При этом полное количество воды остается постоянным: $m_{п} + m_{ж} = const$, так что $dm_{ж} = - dm_{п}$. Массу жидкой воды мы должны положить равной нулю, если в рассматриваемом состоянии вся вода существует в виде насыщенного водяного пара. Но, конечно, величина $dm_{ж}$ должна считаться отличной от нуля, так как при поднятии вверх водяные пары конденсируются в жидкие капли. Имея это в виду, из условия (1) получим
$m_{в}ds_{в} + m_{п}ds_{п} + (s_{п} - s_{ж}) dm_{п} = 0$.
Разность удельных энтропий выразим через удельную теплоту испарения $q = T (s_{п} - s_{ж})$. Масса пара $m_{п}$ в рассматриваемой системе зависит только от температуры $T$, так что $dm_{п} = \frac{dm_{п} }{dT} dT$. Для дифференциала удельной энтропии воздуха $ds_{в}$, если учесть, что воздух может считаться идеальным газом, получим такое же выражение, как и в случае сухого воздуха:
$ds_{в} = \frac{c_{P}^{в} }{T} dT - \frac{v_{в} }{T} dP_{в}$.
То же можно написать и для водяного пара. Однако давление насыщенного пара зависит только от температуры, а потому
$ds_{п} = \left ( \frac{c_{P}^{п} }{T} - \frac{v_{п} }{T} \frac{dP_{п} }{dT} \right ) dT$.
Применим к воздуху уравнение гидростатики:
$dP_{в} = - \rho_{в} gdz = - \frac{g}{v_{в} } dz$.
С учетом всего этого получим
$\left [ c_{P}^{в} + \frac{m_{п} }{m_{в} } \left ( c_{P}^{п} - v_{п} \frac{dP_{п} }{dT} + \frac{q}{m_{п} } \frac{dm_{п} }{dT} \right ) \right ] \frac{dT}{dz} = - g$.
В этом соотношении $m_{в}$ и $m_{п}$, очевидно, можно заменить на плотности воздуха и водяного пара $\rho_{в}$ и $\rho_{п}$. Из уравнения Клапейрона $\rho = \frac{ \mu P}{RT}$, а потому
$\frac{m_{п}}{m_{в} } = \frac{ \mu_{п} P_{п}}{ \mu_{в} P_{в}}$,
$\frac{1}{m_{п} } \frac{dm_{п} }{dT} = \frac{1}{ \rho_{п} } \frac{d \rho_{п} }{dT} = \frac{T}{P_{п} } \frac{d}{dT} \left ( \frac{P_{п} }{T} \right ) = \frac{1}{P_{п} } \frac{dP_{п} }{dT} - \frac{1}{T}$.
Выполнив соответствующую подстановку, получим
$\left [ c_{P}^{в} + \frac{ \mu_{п}P_{п} }{ \mu_{в}P_{в} } \left ( c_{P}^{п} - v_{п} \frac{dP_{п} }{dT} - \frac{q}{T} + \frac{q}{P_{п} } \frac{dP_{п} }{dT} \right ) \right ] \frac{dT}{dz} = - g$.
Наконец, воспользуемся уравнением Клапейрона - Клаузиуса в упрощенном виде:
$\frac{dP_{п} }{dT} = \frac{q}{Tv_{п} }$.
В результате найдем
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = \left ( - \frac{g}{c_{P}^{в} } \right ) \frac{1}{ 1 + \frac{ \mu_{п}P_{п} }{ \mu_{в}P_{в}c_{P}^{в} } \left ( c_{P}^{п} - \frac{q}{T} + \frac{ \mu_{п} }{R } \left ( \frac{q }{T} \right )^{2} \right ) }$. (2)
В окончательной формуле (2) мы ввели у температурного градиента индекс "ад", опущенный в промежуточных расчетах.
Удельные теплоемкости воздуха и водяного пара при постоянном давлении вычислим по классической теории, считая воздух Двухатомным, а водяной пар-трехатомным газами. Тогда
$c_{P}^{в} = \frac{7R}{2 \mu_{в}}, c_{P}^{п} = \frac{4R}{ \mu_{п} }$.
Учтем далее, что множитель $- \frac{g}{c_{P_{в}}}$ дает адиабатический градиент температуры для сухого воздуха, который мы обозначим посредством $\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад.сух}$. Тогда формула (2) представится в виде
$\left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад} = f \left ( \frac{dT}{dz} \right )_{ад.сух} $, (3)
где коэффициент $f$ определяется выражением
$ \frac{1}{f} = 1 + \frac{8}{7} \frac{P_{п} }{P_{в} } \left [ 1 - \frac{q \mu_{п} }{2RT} + \left ( \frac{q \mu_{п} }{2RT} \right )^{2} \right ] $. (4)
Теми же формулами можно пользоваться и в тех случаях, когда при охлаждении водяные пары не конденсируются, а превращаются в лед. Только в этих случаях под $q$ следует понимать удельную теплоту возгонки, равную сумме удельных теплот парообразования и плавления.
Вычисленные значения коэффициента $f$ при различных температурах для двух значений полного давления приведены в следующей таблице:
Из таблицы видно, насколько существенно влияние влажности, если адиабатические процессы в атмосфере сопровождаются кондесациеи или замерзанием водяных паров.
