Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14125
2020-04-16 
В закрытом сосуде при температуре $t = 20^{ \circ} С$ находится влажный воздух с относительной влажностью $f = 80$ %. На сколько градусов надо понизить температуру стенок сосуда, чтобы на них начала выпадать роса? Удельная теплота парообразования воды при $20^{ \circ} С$ $q = 600 кал/г$. Водяной пар рассматривать как идеальный газ.
Решение:
Для приближенной оценки в уравнении
$\frac{dP}{dT} \approx \frac{q}{Tv} \approx \frac{ \mu qP}{RT^{2} }$
заменим производную $\frac{dP}{dT}$ отношением конечных приращений. Получим
$\frac{T_{2} - T_{1}}{P_{2} - P_{1} } = \frac{RT_{1}^{2} }{ \mu qP_{1} }$,
где $P_{1}$ и $P_{2}$ - давления насыщенного пара при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$. Давление пара в воздухе при температуре $T_{1}$ и относительной влажности $f$ будет $fP_{1}$, а потому $P_{2} = \frac{T_{2}}{T_{1} }fP_{1} $. Подставляя эти значения в предыдущее соотношение, найдем
$T_{2} - T_{1} = \frac{f - 1}{ \mu q - fRT_{1} } RT_{1}^{2} = -3,3 К$. (1)
Для нахождения более точного решения из формулы (1) получаем
$ln \left \{ \frac{fT_{2} }{T_{1} } \right \} = \frac{ \mu q}{RT_{1}T_{2} } (T_{2} - T_{1})$.
Подставляя численные значения и переходя к десятичным логарифмам, преобразуем это уравнение к виду
$T_{2} - T_{1} = 0,124 T_{2} lg \left \{ \frac{fT_{2} }{T_{1} } \right \}$. (2)
Для решения уравнения (2) применяем метод последовательных приближений. В нулевом приближении полагаем $T_{2} = T_{1}$. Пользуясь этим, находим первое приближение:
$T_{2} - T_{1} = 0,124 T_{1} lg f = - 3,52 К$.
Вычислив отсюда $T_{2}$ и подставив в правую часть уравнения (2), найдем второе приближение:
$T_{2} - T_{1} = -3,66705 К$.
Поступая так дальше, получим третье приближение:
$T_{2} - T_{1} = -3,67313 К$,
четвертое приближение
$T_{2} - T_{1} = -3,67360 К$.
С точностью до трех значащих цифр
$T_{2} - T_{1} = -3,67 К$.
Таким образом, замена производной $\frac{dP}{dT}$ отношением конечных приращений приводит к ошибке $\sim 10$ %.
В закрытом сосуде при температуре $t = 20^{ \circ} С$ находится влажный воздух с относительной влажностью $f = 80$ %. На сколько градусов надо понизить температуру стенок сосуда, чтобы на них начала выпадать роса? Удельная теплота парообразования воды при $20^{ \circ} С$ $q = 600 кал/г$. Водяной пар рассматривать как идеальный газ.
Решение:
Для приближенной оценки в уравнении
$\frac{dP}{dT} \approx \frac{q}{Tv} \approx \frac{ \mu qP}{RT^{2} }$
заменим производную $\frac{dP}{dT}$ отношением конечных приращений. Получим
$\frac{T_{2} - T_{1}}{P_{2} - P_{1} } = \frac{RT_{1}^{2} }{ \mu qP_{1} }$,
где $P_{1}$ и $P_{2}$ - давления насыщенного пара при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$. Давление пара в воздухе при температуре $T_{1}$ и относительной влажности $f$ будет $fP_{1}$, а потому $P_{2} = \frac{T_{2}}{T_{1} }fP_{1} $. Подставляя эти значения в предыдущее соотношение, найдем
$T_{2} - T_{1} = \frac{f - 1}{ \mu q - fRT_{1} } RT_{1}^{2} = -3,3 К$. (1)
Для нахождения более точного решения из формулы (1) получаем
$ln \left \{ \frac{fT_{2} }{T_{1} } \right \} = \frac{ \mu q}{RT_{1}T_{2} } (T_{2} - T_{1})$.
Подставляя численные значения и переходя к десятичным логарифмам, преобразуем это уравнение к виду
$T_{2} - T_{1} = 0,124 T_{2} lg \left \{ \frac{fT_{2} }{T_{1} } \right \}$. (2)
Для решения уравнения (2) применяем метод последовательных приближений. В нулевом приближении полагаем $T_{2} = T_{1}$. Пользуясь этим, находим первое приближение:
$T_{2} - T_{1} = 0,124 T_{1} lg f = - 3,52 К$.
Вычислив отсюда $T_{2}$ и подставив в правую часть уравнения (2), найдем второе приближение:
$T_{2} - T_{1} = -3,66705 К$.
Поступая так дальше, получим третье приближение:
$T_{2} - T_{1} = -3,67313 К$,
четвертое приближение
$T_{2} - T_{1} = -3,67360 К$.
С точностью до трех значащих цифр
$T_{2} - T_{1} = -3,67 К$.
Таким образом, замена производной $\frac{dP}{dT}$ отношением конечных приращений приводит к ошибке $\sim 10$ %.
