Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14122
2020-04-16 
Определить форму мыльной пленки, края которой закреплены на двух одинаковых кольцах радиуса $R$, удаленных друг от друга на расстояние $2h$. Центры колец лежат на общей прямой, перпендикулярной к их плоскостям. Плоскости колец не затянуты пленками.
Решение:
Ввиду симметрии пленка является поверхностью вращения вокруг прямой, на которой лежат центры колец. Пересечем поверхность пленки произвольной плоскостью, проходящей через эту ось, и примем ее за координатную плоскость XY (рис.). Так как давления по обе стороны пленки одинаковы, то ее полная кривизна $\frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} }$ должна равняться нулю. Радиус кривизны $R_{1}$ нормального сечения пленки, лежащего в плоскости XY, определяется формулой $\frac{1}{R_{1} } = - \frac{y^{ \prime \prime} }{(1 + y^{ \prime 2} )^{3/2} }$ (величина отрицательная). Радиус кривизны $R_{2}$ перпендикулярного к нему нормального сечения легко определить с помощью известной из дифференциальной геометрии теоремы Менье, согласно которой $y = R_{2} \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между плоскостью нормального сечения и координатной плоскостью YZ. Подставляя значение $\cos \alpha$, получим $R_{2} = y \sqrt{1 + y^{ \prime 2} }$ (величина положительная). Таким образом, дифференциальное уравнение, определяющее форму осевого сечения пленки, принимает вид
$\frac{y^{ \prime \prime} }{1 + y^{ \prime 2} } - \frac{1}{y} = 0$. (1)
Введем подстановку $y^{ \prime} = sh \theta$. Тогда $1 + y^{ \prime 2} = ch^{2} \theta, y = \frac{ch \theta}{ \frac{d \theta}{dx} }$. Дифференцируя последнее соотношение и принимая во внимание, что $y^{ \prime} = sh \theta$, находим $\frac{d^{2} \theta}{dx^{2}} = 0$, откуда $\theta = ax + b$, где $a$ и $b$ - постоянные. Они определятся из граничных условий: $y = R$ при $x = \pm h$. Очевидно, $b = 0$, так как ввиду симметрии $y$ должна быть четной функцией от $x$. Окончательно:
$y = \frac{1}{a} ch \{ ax \} = \frac{1}{2a} (e^{ax} + e^{ - ax} )$, (2)
где постоянная $a$ определяется уравнением
$aR = ch \{ ah \}$. (3)
Поверхность пленки получается вращением кривой (2) вокруг оси X. Она называется катеноидом. Уравнение (3) легче всего исследовать и решать графически. Применяя этот метод, нетрудно доказать, что оно имеет решение только при условии $\frac{R}{h} > 1,51$. Значит, чтобы между кольцами могла образоваться пленка, необходимо, чтобы расстояние между ними $2h$ не превышало $\frac{2}{1,51} R = 1,33R$.
Определить форму мыльной пленки, края которой закреплены на двух одинаковых кольцах радиуса $R$, удаленных друг от друга на расстояние $2h$. Центры колец лежат на общей прямой, перпендикулярной к их плоскостям. Плоскости колец не затянуты пленками.
Решение:
Ввиду симметрии пленка является поверхностью вращения вокруг прямой, на которой лежат центры колец. Пересечем поверхность пленки произвольной плоскостью, проходящей через эту ось, и примем ее за координатную плоскость XY (рис.). Так как давления по обе стороны пленки одинаковы, то ее полная кривизна $\frac{1}{R_{1} } + \frac{1}{R_{2} }$ должна равняться нулю. Радиус кривизны $R_{1}$ нормального сечения пленки, лежащего в плоскости XY, определяется формулой $\frac{1}{R_{1} } = - \frac{y^{ \prime \prime} }{(1 + y^{ \prime 2} )^{3/2} }$ (величина отрицательная). Радиус кривизны $R_{2}$ перпендикулярного к нему нормального сечения легко определить с помощью известной из дифференциальной геометрии теоремы Менье, согласно которой $y = R_{2} \cos \alpha$, где $\alpha$ - угол между плоскостью нормального сечения и координатной плоскостью YZ. Подставляя значение $\cos \alpha$, получим $R_{2} = y \sqrt{1 + y^{ \prime 2} }$ (величина положительная). Таким образом, дифференциальное уравнение, определяющее форму осевого сечения пленки, принимает вид
$\frac{y^{ \prime \prime} }{1 + y^{ \prime 2} } - \frac{1}{y} = 0$. (1)
Введем подстановку $y^{ \prime} = sh \theta$. Тогда $1 + y^{ \prime 2} = ch^{2} \theta, y = \frac{ch \theta}{ \frac{d \theta}{dx} }$. Дифференцируя последнее соотношение и принимая во внимание, что $y^{ \prime} = sh \theta$, находим $\frac{d^{2} \theta}{dx^{2}} = 0$, откуда $\theta = ax + b$, где $a$ и $b$ - постоянные. Они определятся из граничных условий: $y = R$ при $x = \pm h$. Очевидно, $b = 0$, так как ввиду симметрии $y$ должна быть четной функцией от $x$. Окончательно:
$y = \frac{1}{a} ch \{ ax \} = \frac{1}{2a} (e^{ax} + e^{ - ax} )$, (2)
где постоянная $a$ определяется уравнением
$aR = ch \{ ah \}$. (3)
Поверхность пленки получается вращением кривой (2) вокруг оси X. Она называется катеноидом. Уравнение (3) легче всего исследовать и решать графически. Применяя этот метод, нетрудно доказать, что оно имеет решение только при условии $\frac{R}{h} > 1,51$. Значит, чтобы между кольцами могла образоваться пленка, необходимо, чтобы расстояние между ними $2h$ не превышало $\frac{2}{1,51} R = 1,33R$.
