Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14121
2020-04-16 
Стальная иголка (лучше, если ее предварительно покрыть тонким слоем парафина) может плавать на поверхности воды (рис.). Найти радиус иголки $r$, ширину зазора $D = MN$ между боковыми поверхностями жидкости в наиболее узком месте, а также глубину погружения $H$ для различных значений угла $\omega$, образуемого общей касательной к поверхности иголки и жидкости с горизонтальной плоскостью. Плотность стали $\rho_{0} = 7,8 г/см^{3}$, поверхностное натяжение воды $\sigma = 73 дин/см$. Определить максимальный радиус иголки, при котором она еще не утонет. Найти максимально возможную глубину погружения и соответствующий ей радиус иголки. При расчете иголку заменить бесконечно длинным цилиндром.
Решение:
В точке А (рис.) поверхности жидкости и иголки тангенциально расходятся. На единицу длины иголки вверх действует сила поверхностного натяжения $F_{1} = 2 \sigma \sin \theta$. Кроме того, на нее действует сила гидростатического давления, также направленная вверх. Если бы часть АСВ иголки была заменена жидкостью, то сила гидростатического давления была бы равна $F_{2} = \rho gh \cdot AB = 2 \rho ghr \sin \theta$, где $r$ - радиус иголки, а $\rho$ - плотность жидкости. Благодаря тому, что часть АСВ погружена в жидкость, на иголку дополнительно действует сила гидростатического давления $F_{3}$, равная весу воды, вытесненной частью АСВ, т. е. $F_{3} = \rho gr^{2} ( \theta - \sin \theta \cos \theta )$. Сумма трех сил $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$ должна равняться весу единицы длины иголки. Это дает
$2 \sigma \sin \theta + 2 \rho ghr \sin \theta + \rho gr^{2} ( \theta - \sin \theta \cos \theta ) = \rho_{0} g \pi r^{2}$.
Между углом $\theta$ и высотой $h$ существует соотношение $h = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g} } \sin \frac{ \theta}{2}$, и предыдущее уравнение принимает вид
$\left [ \pi \rho_{0} - \rho \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ) \right ] r^{2} - 4r \sqrt{ \frac{ \rho \sigma }{g} } \sin \theta \sin \frac{ \theta }{2} - \frac{2 \sigma \sin \theta}{ g} = 0$. (1)
Для $D$ и $H$ получаем
$D = 2r \sin \theta + 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g}} \left [ 2 \cos \frac{ \theta }{2} + ln tg \frac{ \theta }{4} \right ] - 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } ( \sqrt{2} - ln ( \sqrt{2} + 1 ) ) $, (2)
$H = 2r \sin^{2} \frac{ \theta }{2} + 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } \sin \frac{ \theta }{2}$. (3)
После подстановки численных значений:
$\left [ 24,5 - \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ) \right ] r^{2} - 1,091 \sin \theta \sin \frac{ \theta}{2} r - 0,1488 \sin \theta = 0$, (4)
$D = 2r \sin \theta + 1,091 \cos \frac{ \theta}{2} + 1,256 lg_{10} tg \frac{ \theta}{4} - 0,291$. (5)
(Предполагается, что здесь длины выражаются в сантиметрах.) Придавая 0 различные значения, получим следующую таблицу:
Наибольший радиус $r$ получается при $\theta \approx 100^{ \circ}$ и равен приблизительно 1 мм. Если $r > 0,842 мм$, то существуют два положения равновесия иголки: одно при $\theta \leq 100^{ \circ}$, другое при $\theta \geq 100^{ \circ}$. Если же $r < 0,842 мм$, то существует только одно положение равновесии с $\theta \leq 60^{ \circ}$, так как в этом случае при $\theta \geq 60^{ \circ}$ формула (5) дает для $D$ отрицательное значение. Наибольшая глубина погружения $H$ получается при $r \approx 0,842 мм$ и равна приблизительно 6,60 мм.
Стальная иголка (лучше, если ее предварительно покрыть тонким слоем парафина) может плавать на поверхности воды (рис.). Найти радиус иголки $r$, ширину зазора $D = MN$ между боковыми поверхностями жидкости в наиболее узком месте, а также глубину погружения $H$ для различных значений угла $\omega$, образуемого общей касательной к поверхности иголки и жидкости с горизонтальной плоскостью. Плотность стали $\rho_{0} = 7,8 г/см^{3}$, поверхностное натяжение воды $\sigma = 73 дин/см$. Определить максимальный радиус иголки, при котором она еще не утонет. Найти максимально возможную глубину погружения и соответствующий ей радиус иголки. При расчете иголку заменить бесконечно длинным цилиндром.
Решение:
В точке А (рис.) поверхности жидкости и иголки тангенциально расходятся. На единицу длины иголки вверх действует сила поверхностного натяжения $F_{1} = 2 \sigma \sin \theta$. Кроме того, на нее действует сила гидростатического давления, также направленная вверх. Если бы часть АСВ иголки была заменена жидкостью, то сила гидростатического давления была бы равна $F_{2} = \rho gh \cdot AB = 2 \rho ghr \sin \theta$, где $r$ - радиус иголки, а $\rho$ - плотность жидкости. Благодаря тому, что часть АСВ погружена в жидкость, на иголку дополнительно действует сила гидростатического давления $F_{3}$, равная весу воды, вытесненной частью АСВ, т. е. $F_{3} = \rho gr^{2} ( \theta - \sin \theta \cos \theta )$. Сумма трех сил $F_{1}, F_{2}$ и $F_{3}$ должна равняться весу единицы длины иголки. Это дает
$2 \sigma \sin \theta + 2 \rho ghr \sin \theta + \rho gr^{2} ( \theta - \sin \theta \cos \theta ) = \rho_{0} g \pi r^{2}$.
Между углом $\theta$ и высотой $h$ существует соотношение $h = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g} } \sin \frac{ \theta}{2}$, и предыдущее уравнение принимает вид
$\left [ \pi \rho_{0} - \rho \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ) \right ] r^{2} - 4r \sqrt{ \frac{ \rho \sigma }{g} } \sin \theta \sin \frac{ \theta }{2} - \frac{2 \sigma \sin \theta}{ g} = 0$. (1)
Для $D$ и $H$ получаем
$D = 2r \sin \theta + 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g}} \left [ 2 \cos \frac{ \theta }{2} + ln tg \frac{ \theta }{4} \right ] - 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } ( \sqrt{2} - ln ( \sqrt{2} + 1 ) ) $, (2)
$H = 2r \sin^{2} \frac{ \theta }{2} + 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } \sin \frac{ \theta }{2}$. (3)
После подстановки численных значений:
$\left [ 24,5 - \left ( \theta - \frac{1}{2} \sin 2 \theta \right ) \right ] r^{2} - 1,091 \sin \theta \sin \frac{ \theta}{2} r - 0,1488 \sin \theta = 0$, (4)
$D = 2r \sin \theta + 1,091 \cos \frac{ \theta}{2} + 1,256 lg_{10} tg \frac{ \theta}{4} - 0,291$. (5)
(Предполагается, что здесь длины выражаются в сантиметрах.) Придавая 0 различные значения, получим следующую таблицу:
Наибольший радиус $r$ получается при $\theta \approx 100^{ \circ}$ и равен приблизительно 1 мм. Если $r > 0,842 мм$, то существуют два положения равновесия иголки: одно при $\theta \leq 100^{ \circ}$, другое при $\theta \geq 100^{ \circ}$. Если же $r < 0,842 мм$, то существует только одно положение равновесии с $\theta \leq 60^{ \circ}$, так как в этом случае при $\theta \geq 60^{ \circ}$ формула (5) дает для $D$ отрицательное значение. Наибольшая глубина погружения $H$ получается при $r \approx 0,842 мм$ и равна приблизительно 6,60 мм.
