2016-11-20
Мотоциклист со скоростью $v$ движется по круговой траектории радиуса $R$ по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между колесами мотоцикла и поверхностью $\mu$. Найти угол наклона мотоциклиста к горизонту. При какой скорости такое движение возможно? Считать, что размеры человека и мотоцикла намного меньше $R$.
Решение:
В соответствии с условием малости размеров человека и мотоцикла будем полагать, что все их точки испытывают одно и тоже ускорение $\vec{a}$. Запишем закон Ньютона:
$m \vec{g} + \vec{N} + F_{тр} = m \vec{a}$, (1)
где $m$ — масса мотоциклиста с мотоциклом, и определение коэффициента трения:
$F_{тр} \leq \mu N$. (2)
Спроецируем (1) на оси х и у:
$F_{тр} = ma$ (1х)
$N= mg$. (1у)
С учетом
$a = \frac{v^{2}}{R}$ (3)
из (1х, 1у, 2) находим:
$v \leq \sqrt{ \mu gR}$.
При скоростях, превышающих $\sqrt{ \mu gR}$, движение по круговой траектории радиуса $R$ невозможно — силы трения "не хватает", чтобы сообщить телу центростремительное ускорение $\frac{v^{2}}{R}$.
Перейдем в систему отсчета, движущуюся вместе с мотоциклом, и воспользуемся принципом эквивалентности Эйнштейна: будем полагать, что ускорение свободного падения тел $\vec{g}^{ \prime}$ в этой системе отсчета обусловлено действием силы тяжести (гравитации) некоторой планеты. Поскольку мотоциклист с мотоциклом в движущейся системе отсчета покоятся, воспользуемся одним из условий равновесия — равенства нулю момента сил относительно какой-либо точки. Поскольку согласно доказанному во введении утверждению 4 момент силы тяжести относительно центра масс равен нулю, именно относительно центра масс А системы мотоцикл - мотоциклист и запишем условие равенства нулю моментов сил:
$F_{} l \sin \alpha - Nl \cos \alpha = 0 (l = AB)$. (4)
С учетом (1х, 1у, 3) из (4) находим:
$tg \alpha = \frac{Rg}{v^{2}}; \alpha = arctg \frac{Rg}{v^{2}}$.