Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14118
2020-04-16 
Бесконечно длинная прямоугольная пластинка кладется на поверхность смачивающей ее жидкости, а затем слегка приподнимается, увлекая за собой некоторое количество жидкости (рис.). Найти уравнение боковой поверхности жидкости, устанавливающейся под влиянием капиллярных сил и силы тяжести.
Решение:
Примем за ось X прямую, перпендикулярную к длинной стороне пластинки и лежащую на горизонтальной поверхности жидкости, а за ось Y - вертикальную прямую, касающуюся правой цилиндрической поверхности жидкости. Пусть $x$ и $y$ означают текущие координаты точки, лежащей на искомой поверхности. Давление внутри жидкости на уровне точки А (см. рис.) равно $P = P_{0} - \rho gy$, где $P_{0}$ - атмосферное давление. То же давление можно выразить по формуле Лапласа $P = P_{0} - \sigma K$, где $K$ - абсолютное значение кривизны поверхности жидкости в точке А. Следовательно,
$\rho gy = \sigma K$. (1)
По определению кривизна $K = - \frac{d \phi}{ds}$, где $ds$ - элемент длины дуги. Элемент дуги ds считается положительным, когда он проходит в направлении снизу вверх. Он связан c $dx$ и $dy$ соотношениями: $dx = ds \cos \phi, dy = ds \sin \phi$. Таким образом,
$K = - \frac{d \phi}{dx} \cos \phi = - \frac{d \phi}{dy} \sin \phi$.
Подставляя эти выражения в (1), получим два уравнения:
$\rho gydy + \sigma \sin \phi d \phi = 0$, (2)
$\rho gydx + \sigma \cos \phi d \phi = 0$. (3)
Интегрируя (2) с использованием начального условия $\phi = \pi$ при $y = 0$, получим
$y = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } \cos \frac{ \phi}{2}$. (4)
Подстановка этого выражения в (3) приводит к уравнению
$dx = - \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g} } \cos \frac{ \phi}{2} d \phi + \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } \frac{d \phi}{ \cos \frac{ \phi}{2} }$,
интегрирование которого с использованием начального условия $x = 0$ при $\phi = \frac{ \pi}{2}$ дает
$x = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g}} \left [ \frac{1}{ \sqrt{2} } - \sin \frac{ \phi }{2} \right ] + \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g}} ln \frac{1 + \sin \frac{ \phi}{2} }{ \left ( 1 - \sin \frac{ \phi }{2} \right ) \left ( \sqrt{2} + 1 \right ) }$. (5)
Формулы (4) и (5) выражают уравнение искомой поверхности в параметрической форме.
Бесконечно длинная прямоугольная пластинка кладется на поверхность смачивающей ее жидкости, а затем слегка приподнимается, увлекая за собой некоторое количество жидкости (рис.). Найти уравнение боковой поверхности жидкости, устанавливающейся под влиянием капиллярных сил и силы тяжести.
Решение:
Примем за ось X прямую, перпендикулярную к длинной стороне пластинки и лежащую на горизонтальной поверхности жидкости, а за ось Y - вертикальную прямую, касающуюся правой цилиндрической поверхности жидкости. Пусть $x$ и $y$ означают текущие координаты точки, лежащей на искомой поверхности. Давление внутри жидкости на уровне точки А (см. рис.) равно $P = P_{0} - \rho gy$, где $P_{0}$ - атмосферное давление. То же давление можно выразить по формуле Лапласа $P = P_{0} - \sigma K$, где $K$ - абсолютное значение кривизны поверхности жидкости в точке А. Следовательно,
$\rho gy = \sigma K$. (1)
По определению кривизна $K = - \frac{d \phi}{ds}$, где $ds$ - элемент длины дуги. Элемент дуги ds считается положительным, когда он проходит в направлении снизу вверх. Он связан c $dx$ и $dy$ соотношениями: $dx = ds \cos \phi, dy = ds \sin \phi$. Таким образом,
$K = - \frac{d \phi}{dx} \cos \phi = - \frac{d \phi}{dy} \sin \phi$.
Подставляя эти выражения в (1), получим два уравнения:
$\rho gydy + \sigma \sin \phi d \phi = 0$, (2)
$\rho gydx + \sigma \cos \phi d \phi = 0$. (3)
Интегрируя (2) с использованием начального условия $\phi = \pi$ при $y = 0$, получим
$y = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } \cos \frac{ \phi}{2}$. (4)
Подстановка этого выражения в (3) приводит к уравнению
$dx = - \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g} } \cos \frac{ \phi}{2} d \phi + \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho g} } \frac{d \phi}{ \cos \frac{ \phi}{2} }$,
интегрирование которого с использованием начального условия $x = 0$ при $\phi = \frac{ \pi}{2}$ дает
$x = 2 \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g}} \left [ \frac{1}{ \sqrt{2} } - \sin \frac{ \phi }{2} \right ] + \sqrt{ \frac{ \sigma}{ \rho g}} ln \frac{1 + \sin \frac{ \phi}{2} }{ \left ( 1 - \sin \frac{ \phi }{2} \right ) \left ( \sqrt{2} + 1 \right ) }$. (5)
Формулы (4) и (5) выражают уравнение искомой поверхности в параметрической форме.
