Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14116
2020-04-16 
Внутри мыльного пузыря радиуса $r_{0}$ находится воздух (идеальный газ) при температуре $T_{0}$ и давлении $P_{0}$. Поверхностное натяжение мыльного раствора при этой температуре равно $\sigma_{0}$. Удельная теплота изотермического образования единицы поверхности мыльной пленки при той же температуре равна $q_{0}$. Найти производную $\frac{dr}{dT}$ (радиуса пузыря $r$ по температуре $T$) для $T = T_{0}$. Наружное давление остается постоянным.
Решение:
Давление внутри пузыря $P = P_{нар} + \frac{4 \sigma}{r}$. Дифференцируя при постоянном наружном давлении $P_{нар}$ и полагая $r = r_{0}, \sigma = \sigma_{0}$, получим
$dP = \frac{4 d \sigma}{r_{0} } - \frac{4 \sigma_{0} dr }{r_{0}^{2} }$.
По известной формуле $d \sigma = - \frac{q_{0} }{T_{0} } dT$. Исключая $d \sigma$, получим
$dP = - \frac{4q_{0} }{r_{0}T_{0} } dT - \frac{4 \sigma_{0} }{r_{0}^{2} }dr$.
Так как масса газа внутри пузыря постоянна, то $\frac{Pr^{3} }{T} = \frac{P_{0}r_{0}^{3} }{T_{0} }$; отсюда
$\frac{dP}{P_{0} } + \frac{3dr}{r_{0} } - \frac{dT}{T_{0} } = 0$.
Исключая отсюда и из предыдущего соотношения величину $dP$, получим окончательно
$\left ( \frac{dr}{dT} \right )_{T = T_{0} } = \frac{r_{0} }{T_{0} } \frac{4q_{0} + r_{0}P_{0} }{3r_{0}P_{0} - 4 \sigma_{0} }$.
Внутри мыльного пузыря радиуса $r_{0}$ находится воздух (идеальный газ) при температуре $T_{0}$ и давлении $P_{0}$. Поверхностное натяжение мыльного раствора при этой температуре равно $\sigma_{0}$. Удельная теплота изотермического образования единицы поверхности мыльной пленки при той же температуре равна $q_{0}$. Найти производную $\frac{dr}{dT}$ (радиуса пузыря $r$ по температуре $T$) для $T = T_{0}$. Наружное давление остается постоянным.
Решение:
Давление внутри пузыря $P = P_{нар} + \frac{4 \sigma}{r}$. Дифференцируя при постоянном наружном давлении $P_{нар}$ и полагая $r = r_{0}, \sigma = \sigma_{0}$, получим
$dP = \frac{4 d \sigma}{r_{0} } - \frac{4 \sigma_{0} dr }{r_{0}^{2} }$.
По известной формуле $d \sigma = - \frac{q_{0} }{T_{0} } dT$. Исключая $d \sigma$, получим
$dP = - \frac{4q_{0} }{r_{0}T_{0} } dT - \frac{4 \sigma_{0} }{r_{0}^{2} }dr$.
Так как масса газа внутри пузыря постоянна, то $\frac{Pr^{3} }{T} = \frac{P_{0}r_{0}^{3} }{T_{0} }$; отсюда
$\frac{dP}{P_{0} } + \frac{3dr}{r_{0} } - \frac{dT}{T_{0} } = 0$.
Исключая отсюда и из предыдущего соотношения величину $dP$, получим окончательно
$\left ( \frac{dr}{dT} \right )_{T = T_{0} } = \frac{r_{0} }{T_{0} } \frac{4q_{0} + r_{0}P_{0} }{3r_{0}P_{0} - 4 \sigma_{0} }$.
