Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14115
2020-04-16 
Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости в предположении, что температуры нагревателя и холодильника бесконечно мало отличаются друг от друга, и применив к этому циклу теорему Карно, найти производную поверхностного натяжения $\sigma$ жидкости по температуре $T$.
Решение:
Рассмотрим пленку жидкости и проведем с ней бесконечно малый цикл Карно. Будем откладывать по горизонтальной оси площадь пленки $F$, а по вертикальной оси - поверхностное натяжение $\sigma$ (рис.). При постоянной температуре поверхностное натяжение также постоянно. Поэтому на нашей диаграмме изотермы изобразятся горизонтальными прямыми. Начальное состояние пленкй характеризуется точкой 1. Приведем пленку в тепловой контакт с нагревателем, температура которого равна температуре пленки в состоянии 1. Затем квазистатически растянем пленку до состояния 2. На это надо затратить работу. Работа самой пленки отрицательна и равна, $A_{1} = - \sigma (T_{1}) \Delta F$, где $\Delta F$ - приращение площади пленки при растяжении по изотерме 12. При изотермическом растяжении к пленке надо подводить тепло. Величина подведенного тепла $Q_{1} = q \Delta F$. В состоянии 2 изолируем пленку от нагревателя и адиабатически бесконечно мало растянем ее до состояния 3, в котором пленка примет температуру холодильника $T_{2}$. Предполагается, что температуры $T_{1}$ и $T_{2}$ отличаются друг от друга бесконечно мало. В состоянии 3 приведем пленку в тепловой контакт с холодильником и изотермически переведем ее в состояние 4. Поверхность пленки уменьшится на $\Delta F$, и она совершит положительную работу $A_{2} = \sigma (T_{2}) \Delta F$. Из состояния 4 вернем пленку в исходное состояние 1. Работой пленки на адиабатах 23 и 41 можно пренебречь, как величиной более высокого порядка малости. Полная работа, совершенная пленкой во время кругового процесса, равна
$A = A_{1} + A_{2} = [ \sigma(T_{2} ) - \sigma (T_{1} ) ] \Delta F = \frac{d \sigma}{dT} (T_{2} - T_{1} ) \Delta F$.
По теореме Карно
$\frac{A}{Q_{1} } = \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} }$.
Подставляя сюда найденные выше выражения для $A$ и $Q_{1}$, после сокращения получим
$\frac{d \sigma}{dT} = - \frac{q}{T}$. (1)
Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости в предположении, что температуры нагревателя и холодильника бесконечно мало отличаются друг от друга, и применив к этому циклу теорему Карно, найти производную поверхностного натяжения $\sigma$ жидкости по температуре $T$.
Решение:
Рассмотрим пленку жидкости и проведем с ней бесконечно малый цикл Карно. Будем откладывать по горизонтальной оси площадь пленки $F$, а по вертикальной оси - поверхностное натяжение $\sigma$ (рис.). При постоянной температуре поверхностное натяжение также постоянно. Поэтому на нашей диаграмме изотермы изобразятся горизонтальными прямыми. Начальное состояние пленкй характеризуется точкой 1. Приведем пленку в тепловой контакт с нагревателем, температура которого равна температуре пленки в состоянии 1. Затем квазистатически растянем пленку до состояния 2. На это надо затратить работу. Работа самой пленки отрицательна и равна, $A_{1} = - \sigma (T_{1}) \Delta F$, где $\Delta F$ - приращение площади пленки при растяжении по изотерме 12. При изотермическом растяжении к пленке надо подводить тепло. Величина подведенного тепла $Q_{1} = q \Delta F$. В состоянии 2 изолируем пленку от нагревателя и адиабатически бесконечно мало растянем ее до состояния 3, в котором пленка примет температуру холодильника $T_{2}$. Предполагается, что температуры $T_{1}$ и $T_{2}$ отличаются друг от друга бесконечно мало. В состоянии 3 приведем пленку в тепловой контакт с холодильником и изотермически переведем ее в состояние 4. Поверхность пленки уменьшится на $\Delta F$, и она совершит положительную работу $A_{2} = \sigma (T_{2}) \Delta F$. Из состояния 4 вернем пленку в исходное состояние 1. Работой пленки на адиабатах 23 и 41 можно пренебречь, как величиной более высокого порядка малости. Полная работа, совершенная пленкой во время кругового процесса, равна
$A = A_{1} + A_{2} = [ \sigma(T_{2} ) - \sigma (T_{1} ) ] \Delta F = \frac{d \sigma}{dT} (T_{2} - T_{1} ) \Delta F$.
По теореме Карно
$\frac{A}{Q_{1} } = \frac{T_{1} - T_{2} }{T_{1} }$.
Подставляя сюда найденные выше выражения для $A$ и $Q_{1}$, после сокращения получим
$\frac{d \sigma}{dT} = - \frac{q}{T}$. (1)
