Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14113
2020-04-16 
Найти распределение плотности в поле силы тяжести физически однородного вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, в окрестности критической точки.
Решение:
В критической точке $\left ( \frac{ \partial P}{ \partial V } \right )_{T} = \left ( \frac{ \partial^{2} P}{ \partial V^{2}} \right )_{T} = 0$. Поэтому первый член разложения Тейлора в окрестности этой точки имеет вид
$P - P_{кр} = \frac{1}{6} \left ( \frac{ \partial^{3}P }{ \partial V^{3} } \right )_{кр} (V - V_{кр} )^{3} + \left ( \frac{ \partial P }{ \partial T } \right )_{кр} (T - T_{кр} )$.
Вычислив производные из уравнения Ван-дер-Ваальса и воспользовавшись известными выражениями критических параметров через $a$ и $b$, получим
$P - P_{кр} = - \frac{9}{16} \frac{RT_{кр} }{V_{кр}^{4} } (V - V_{кр} )^{3} + \frac{3}{2} \frac{R}{V_{кр} } ( T - T_{кр} )$.
Вместо объема $V$ введем плотность $\rho = \frac{ \mu}{V}$, где $\mu$ - относительная молекулярная масса. Использовав еще уравнение гидростатики $P - P_{кр} = - \rho_{кр} gh$, получим в рассматриваемом приближении
$\frac{ \rho - \rho_{кр} }{ \rho_{кр} } = - \frac{2}{3} \sqrt[3]{6 \frac{ \mu gh + \frac{3}{2} R(T - T_{кр} ) }{RT_{кр} } }$.
Высота $h$ отсчитывается от того уровня, где плотность вещества равна критической, причем положительным считается направление вверх. В частности, при $T = T_{кр}$
$\frac{ \rho - \rho_{кр}}{ \rho_{кр} } = - \frac{2}{3} \sqrt[3]{ \frac{6 \mu gh}{RT_{кр} } }$.
Вдали от критической точки газ можно считать идеальным. В этом случае для относительного изменения плотности с высотой мы имели бы
$\frac{ \delta \rho}{ \rho} = - \frac{ \mu gh}{RT}$.
При одинаковых температурах и относительных молекулярных массах эта величина меньше предыдущей в $\alpha = \frac{2 \sqrt{6} }{3} \left ( \frac{RT}{ \mu gh} \right )^{2/3}$ раз. Для воздуха ($\mu = 28,8, T_{кр} = 132,5 К$) при высоте $h = 1 см$ $\alpha \approx 8700, \frac{ \rho - \rho_{кр}}{ \rho_{кр}} \approx - \frac{1}{100}$.
Найти распределение плотности в поле силы тяжести физически однородного вещества, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса, в окрестности критической точки.
Решение:
В критической точке $\left ( \frac{ \partial P}{ \partial V } \right )_{T} = \left ( \frac{ \partial^{2} P}{ \partial V^{2}} \right )_{T} = 0$. Поэтому первый член разложения Тейлора в окрестности этой точки имеет вид
$P - P_{кр} = \frac{1}{6} \left ( \frac{ \partial^{3}P }{ \partial V^{3} } \right )_{кр} (V - V_{кр} )^{3} + \left ( \frac{ \partial P }{ \partial T } \right )_{кр} (T - T_{кр} )$.
Вычислив производные из уравнения Ван-дер-Ваальса и воспользовавшись известными выражениями критических параметров через $a$ и $b$, получим
$P - P_{кр} = - \frac{9}{16} \frac{RT_{кр} }{V_{кр}^{4} } (V - V_{кр} )^{3} + \frac{3}{2} \frac{R}{V_{кр} } ( T - T_{кр} )$.
Вместо объема $V$ введем плотность $\rho = \frac{ \mu}{V}$, где $\mu$ - относительная молекулярная масса. Использовав еще уравнение гидростатики $P - P_{кр} = - \rho_{кр} gh$, получим в рассматриваемом приближении
$\frac{ \rho - \rho_{кр} }{ \rho_{кр} } = - \frac{2}{3} \sqrt[3]{6 \frac{ \mu gh + \frac{3}{2} R(T - T_{кр} ) }{RT_{кр} } }$.
Высота $h$ отсчитывается от того уровня, где плотность вещества равна критической, причем положительным считается направление вверх. В частности, при $T = T_{кр}$
$\frac{ \rho - \rho_{кр}}{ \rho_{кр} } = - \frac{2}{3} \sqrt[3]{ \frac{6 \mu gh}{RT_{кр} } }$.
Вдали от критической точки газ можно считать идеальным. В этом случае для относительного изменения плотности с высотой мы имели бы
$\frac{ \delta \rho}{ \rho} = - \frac{ \mu gh}{RT}$.
При одинаковых температурах и относительных молекулярных массах эта величина меньше предыдущей в $\alpha = \frac{2 \sqrt{6} }{3} \left ( \frac{RT}{ \mu gh} \right )^{2/3}$ раз. Для воздуха ($\mu = 28,8, T_{кр} = 132,5 К$) при высоте $h = 1 см$ $\alpha \approx 8700, \frac{ \rho - \rho_{кр}}{ \rho_{кр}} \approx - \frac{1}{100}$.
