Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14110
2020-04-16 
В жидкости находятся одинаковые броуновские частицы, концентрация которых зависит только от одной координаты $x$. Выравнивание концентрации частиц происходит вследствие диффузии. Выразить коэффициент диффузии броуновских частиц $D$ через средний квадрат смещения частицы в направлении оси $X$ за время $\tau$.
Решение:
Пусть в однородной жидкости в отсутствие внешних силовых полей распределены тождественные броуновские частицы с концентрацией $n(x)$, меняющейся только в направлении оси $X$. Вычислим диффузионный поток $\Gamma$ таких частиц через произвольное сечение, перпендикулярное к оси $X$. Возьмем в этом сечении бесконечно малую площадку $dS$ (рис.). Выделим группу броуновских частиц, которые за время $\tau$ смещаются на один и тот же вектор $\Delta \vec{r}_{i}$. Пусть будет велика не только полная концентрация броуновских частиц $n$, но и концентрация их $n_{i} (x)$ в каждой группе. Число частиц $i$-й группы $dN_{i}$ проходящих через площадку $dS$ за время $\tau$, будет равно числу их в косом цилиндре $ABB^{ \prime}A^{ \prime}$ с основанием $AB$ и образующей $\Delta r_{i}$, т. е.
$dN_{i} = \int n_{i}(x) dV$.
Линейные размеры площадки $dS$ можно выбрать малыми по сравнению с $\Delta r_{i}$. Тогда элемент объема $dV$ можно представить в виде $dV = dSdx$ и написать
$dN_{i} = dS \int n_{i} (x) dx = dS \int_{- \Delta x_{i} }^{0} n_{i} ( x_{0} + \xi ) d \xi$,
где $x_{0}$ - координата центра О площадки $dS$. Выбрав $\tau$, а следовательно, и $\Delta x_{i}$ достаточно малыми, разложим функцию $n_{i} (x_{0} + \xi )$ по степеням $\xi$ и оборвем это разложение на линейном члене. Тогда
$dN_{i} = n_{i}(0) dS \int_{ - \Delta x_{i} }^{0} d \xi + \left ( \frac{dn_{i} }{dx} \right )_{x = x_{0} } dS \int_{- \Delta x_{i} }^{0} \xi d \xi$,
или после интегрирования
$dN_{i} = dS \left [ n_{i} \Delta x_{i} - \frac{1}{2} \frac{dn_{i} }{dx} ( \Delta x_{i})^{2} \right ]$.
Аргумент $x_{0}$ мы опустили, предполагая, что концентрация $n_{i}$ и ее производная $\frac{d n_{i}}{dx}$ берутся в центре площадки $dS$.
Избыток $dN$ броуновских частиц, проходящих через площадку $dS$ в положительном направлении оси $X$, над числом частиц, проходящих в противоположном направлении, найдется суммированием предыдущего выражения по всем группам частиц:
$dN = dS \sum_{i} n_{i} \Delta x_{i} - \frac{dS}{2} \sum_{i} \frac{dn_{i} }{dx} ( \Delta x_{i} )^{2}$.
Среднее значение первой суммы равно нулю. Действительно, концентрации $n_{i}$ относятся к центру площадки $dS$, а смещения броуновских частиц в положительном и отрицательном направлениях равновероятны. Для вычисления второй суммы заметим, что по определению среднего
$n \overline{ \Delta x^{2} } = \sum n_{i} ( \Delta x_{i} )^{2}$.
Величины $\Delta x_{i}$, как независимые параметры, не зависят от $x$. Средний квадрат смещения $\overline{x^{2}}$ также не может зависеть от $x$ ввиду однородности жидкости и отсутствия силовых полей. Поэтому дифференцирование предыдущего соотношения по $x$ дает
$\overline{ \Delta x^{2} } \frac{dn}{dx} = \sum \frac{dn_{i} }{dx} ( \Delta x_{i} )^{2}$.
В результате для среднего значения $d \bar{N}$ получаем
$d \bar{N} = - dS \frac{ \overline{ \Delta x^{2} } }{2} \frac{dn}{dx}$.
Чтобы найти средний диффузионный поток броуновских частиц $\Gamma$, надо эту величину разделить на $dS$ и $\tau$. Таким путем получаем
$\Gamma = - \frac{ \overline{ \Delta x^{2} } }{2 \tau} \frac{dn}{dx}$.
Отсюда видно, что выравнивание концентраций броуновских частиц можно рассматривать как процесс диффузии с коэффициентом диффузии
$D = \frac{1}{2} \frac{ \overline{ \Delta x^{2} } }{ \tau}$. (1)
По смыслу вывода под ($\overline{ \Delta x^{2}}$) следует понимать "среднее по совокупности частиц". Однако в силу одинаковости последних и отсутствия взаимодействия между ними это среднее может быть заменено "средним по времени" для одной частицы.
В жидкости находятся одинаковые броуновские частицы, концентрация которых зависит только от одной координаты $x$. Выравнивание концентрации частиц происходит вследствие диффузии. Выразить коэффициент диффузии броуновских частиц $D$ через средний квадрат смещения частицы в направлении оси $X$ за время $\tau$.
Решение:
Пусть в однородной жидкости в отсутствие внешних силовых полей распределены тождественные броуновские частицы с концентрацией $n(x)$, меняющейся только в направлении оси $X$. Вычислим диффузионный поток $\Gamma$ таких частиц через произвольное сечение, перпендикулярное к оси $X$. Возьмем в этом сечении бесконечно малую площадку $dS$ (рис.). Выделим группу броуновских частиц, которые за время $\tau$ смещаются на один и тот же вектор $\Delta \vec{r}_{i}$. Пусть будет велика не только полная концентрация броуновских частиц $n$, но и концентрация их $n_{i} (x)$ в каждой группе. Число частиц $i$-й группы $dN_{i}$ проходящих через площадку $dS$ за время $\tau$, будет равно числу их в косом цилиндре $ABB^{ \prime}A^{ \prime}$ с основанием $AB$ и образующей $\Delta r_{i}$, т. е.
$dN_{i} = \int n_{i}(x) dV$.
Линейные размеры площадки $dS$ можно выбрать малыми по сравнению с $\Delta r_{i}$. Тогда элемент объема $dV$ можно представить в виде $dV = dSdx$ и написать
$dN_{i} = dS \int n_{i} (x) dx = dS \int_{- \Delta x_{i} }^{0} n_{i} ( x_{0} + \xi ) d \xi$,
где $x_{0}$ - координата центра О площадки $dS$. Выбрав $\tau$, а следовательно, и $\Delta x_{i}$ достаточно малыми, разложим функцию $n_{i} (x_{0} + \xi )$ по степеням $\xi$ и оборвем это разложение на линейном члене. Тогда
$dN_{i} = n_{i}(0) dS \int_{ - \Delta x_{i} }^{0} d \xi + \left ( \frac{dn_{i} }{dx} \right )_{x = x_{0} } dS \int_{- \Delta x_{i} }^{0} \xi d \xi$,
или после интегрирования
$dN_{i} = dS \left [ n_{i} \Delta x_{i} - \frac{1}{2} \frac{dn_{i} }{dx} ( \Delta x_{i})^{2} \right ]$.
Аргумент $x_{0}$ мы опустили, предполагая, что концентрация $n_{i}$ и ее производная $\frac{d n_{i}}{dx}$ берутся в центре площадки $dS$.
Избыток $dN$ броуновских частиц, проходящих через площадку $dS$ в положительном направлении оси $X$, над числом частиц, проходящих в противоположном направлении, найдется суммированием предыдущего выражения по всем группам частиц:
$dN = dS \sum_{i} n_{i} \Delta x_{i} - \frac{dS}{2} \sum_{i} \frac{dn_{i} }{dx} ( \Delta x_{i} )^{2}$.
Среднее значение первой суммы равно нулю. Действительно, концентрации $n_{i}$ относятся к центру площадки $dS$, а смещения броуновских частиц в положительном и отрицательном направлениях равновероятны. Для вычисления второй суммы заметим, что по определению среднего
$n \overline{ \Delta x^{2} } = \sum n_{i} ( \Delta x_{i} )^{2}$.
Величины $\Delta x_{i}$, как независимые параметры, не зависят от $x$. Средний квадрат смещения $\overline{x^{2}}$ также не может зависеть от $x$ ввиду однородности жидкости и отсутствия силовых полей. Поэтому дифференцирование предыдущего соотношения по $x$ дает
$\overline{ \Delta x^{2} } \frac{dn}{dx} = \sum \frac{dn_{i} }{dx} ( \Delta x_{i} )^{2}$.
В результате для среднего значения $d \bar{N}$ получаем
$d \bar{N} = - dS \frac{ \overline{ \Delta x^{2} } }{2} \frac{dn}{dx}$.
Чтобы найти средний диффузионный поток броуновских частиц $\Gamma$, надо эту величину разделить на $dS$ и $\tau$. Таким путем получаем
$\Gamma = - \frac{ \overline{ \Delta x^{2} } }{2 \tau} \frac{dn}{dx}$.
Отсюда видно, что выравнивание концентраций броуновских частиц можно рассматривать как процесс диффузии с коэффициентом диффузии
$D = \frac{1}{2} \frac{ \overline{ \Delta x^{2} } }{ \tau}$. (1)
По смыслу вывода под ($\overline{ \Delta x^{2}}$) следует понимать "среднее по совокупности частиц". Однако в силу одинаковости последних и отсутствия взаимодействия между ними это среднее может быть заменено "средним по времени" для одной частицы.
