2016-11-20
На горизонтальной поверхности стоит куб массы $m$. С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы о и начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен $\mu$?
Решение:
На рисунке изображен куб в экстремальной ситуации, когда $F = F_{min}$. В этот момент сила реакции опоры со стороны поверхности приложена к кубу к ребру А ( вся остальная нижняя грань куба находится на грани отрыва от поверхности).
Запишем условие равновесия куба
$\vec{F}_{тр} + m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F} = 0$
и проекции на оси х и у:
$-F_{тр} + F \cos \alpha = 0$ (1)
$-mg + N - F \sin \alpha = 0$ (2)
и условие равновесия относительно точки О
$a F_{тр} - \frac{mg}{2} a = 0$, (3)
где $a$ — длина ребра куба. Моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{F}$ относительно точки О равны нулю.
По определению коэффициента трения,
$F_{тр} \leq \mu N$. (4)
Решая систему уравнений (1—3) вместе с неравенством (4), находим:
$F = \frac{mg}{2 \cos \alpha}$ (5)
$\mu (2 + tg \alpha) \geq 1$. (6)
Очевидно, возможны две ситуации. Если при $\alpha = 0$ (6) справедливо, то есть $\mu \geq \frac{1}{2}$,
$F = \frac{mg}{2}$.
Если же $\mu < \frac{1}{2}$, то в (5) мы должны взять максимально возможный знаменатель, то есть максимальное значение $\cos \alpha$, которое можно найти, решив неравенство (6):
$\cos \alpha \leq \sqrt{ \frac{1}{( \mu^{-1} - 2)^{2} + 1}}$,
и взять, естественно, знак равенства. Таким образом, если $\mu < \frac{1}{2}$, то
$F = \frac{mg}{2} [( \mu^{-1} - 2)^{2} + 1]^{ \frac{1}{2}}$,
причем из (2) $tg \alpha = \frac{1}{ \mu} - 2$.
Запишем ответ задачи в компактном виде:
$F = \frac{mg}{2}$, при $\mu \geq \frac{1}{2}$
$F = \frac{mg}{2} [ ( \mu^{-1} - 2)^{2} + 1]^{ \frac{1}{2}}$, при $\mu \leq \frac{1}{2}$.