Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14106
2020-04-16 
Вычислить флуктуацию кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа.
Решение:
Согласно формуле
$dN = 2 \pi N ( \pi kT)^{-3/2} \sqrt{ \epsilon } e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon$.
$\bar{ \epsilon} = \frac{ \int_{0}^{ \infty} \epsilon T^{-3/2} \sqrt{ \epsilon } e^{ - \alpha \epsilon } d \epsilon}{ \int_{0}^{ \infty} T^{-3/2} \sqrt{ \epsilon } e^{ - \alpha \epsilon } d \epsilon }$.
где введено обозначение $\alpha = \frac{1}{kT}$. Обозначая знаменатель через $Z$ и дифференцируя его по параметру $\alpha$, получим
$\bar{ \epsilon} = - \frac{1}{Z} \frac{dZ}{d \alpha }, \bar{ \epsilon}^{2} = \frac{1}{Z} \frac{d^{2}Z }{d \alpha^{2} }$.
Вычислив интеграл $Z$, по этим формулам найдем $\bar{ \epsilon} = \frac{3}{2} kT, \bar{ \epsilon}^{2} = \frac{15}{4} k^{2}T^{2}$ и далее
$\overline{ \Delta \epsilon^{2} } = \overline{ \epsilon^{2} } - \bar{ \epsilon}^{2} = \frac{3}{2} k^{2}T^{2}$.
Вычислить флуктуацию кинетической энергии поступательного движения молекулы идеального газа.
Решение:
Согласно формуле
$dN = 2 \pi N ( \pi kT)^{-3/2} \sqrt{ \epsilon } e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } d \epsilon$.
$\bar{ \epsilon} = \frac{ \int_{0}^{ \infty} \epsilon T^{-3/2} \sqrt{ \epsilon } e^{ - \alpha \epsilon } d \epsilon}{ \int_{0}^{ \infty} T^{-3/2} \sqrt{ \epsilon } e^{ - \alpha \epsilon } d \epsilon }$.
где введено обозначение $\alpha = \frac{1}{kT}$. Обозначая знаменатель через $Z$ и дифференцируя его по параметру $\alpha$, получим
$\bar{ \epsilon} = - \frac{1}{Z} \frac{dZ}{d \alpha }, \bar{ \epsilon}^{2} = \frac{1}{Z} \frac{d^{2}Z }{d \alpha^{2} }$.
Вычислив интеграл $Z$, по этим формулам найдем $\bar{ \epsilon} = \frac{3}{2} kT, \bar{ \epsilon}^{2} = \frac{15}{4} k^{2}T^{2}$ и далее
$\overline{ \Delta \epsilon^{2} } = \overline{ \epsilon^{2} } - \bar{ \epsilon}^{2} = \frac{3}{2} k^{2}T^{2}$.
