Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14105
2020-04-16 
Тепловые флуктуации малого объема, заполненного жидкостью или газом и окруженного средой, температура $T$ которой поддерживается постоянной, можно рассчитать следующим образом. Предположим, что рассматриваемая часть жидкости или газа заключена в цилиндр, стенки которого идеально проводят тепло. Одна из стенок - поршень- может свободно без трения перемещаться в цилиндре. К движению поршня можно применить теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и таким образом найти искомую флуктуацию. Провести этот расчет.
Решение:
Поршень можно рассматривать как гармонический осциллятор. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении из положения равновесия на $x$ равно $\frac{1}{2} \xi \overline{x^{2}} = \frac{1}{2} kT$, где $\xi$ - модуль упругости, соответствующий такому смещению. Очевидно, $\Delta V = Sx$, где $\Delta V$ - изменение объема системы, a $S$ - площадь поршня. Таким образом, $\overline{ \Delta V^{2}} = \frac{S^{2}kT}{ \xi}$. Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, $F = S \frac{ \partial P}{ \partial x} x$, а потому
$\xi = - S \frac{ \partial P}{ \partial x} = - S^{2} \frac{ \partial P}{ \partial V}$.
В результате получим
$\overline{ ( \Delta V^{2} )_{T} } = - \frac{kT}{ \left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{T} } = - kT \left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{T}$. (1)
Значок $T$ поставлен потому, что в выводе предполагалось постоянство температуры окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема $V$ было адиабатически изолировано, то, как следует из вывода, значок $T$ следовало бы заменить на $S$ (постоянство энтропии) и написать
$( \overline{ \Delta V^{2} } )_{S} = -kT \left ( \frac{ \partial V}{ \partial P} \right )_{S}$. (2)
Тепловые флуктуации малого объема, заполненного жидкостью или газом и окруженного средой, температура $T$ которой поддерживается постоянной, можно рассчитать следующим образом. Предположим, что рассматриваемая часть жидкости или газа заключена в цилиндр, стенки которого идеально проводят тепло. Одна из стенок - поршень- может свободно без трения перемещаться в цилиндре. К движению поршня можно применить теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и таким образом найти искомую флуктуацию. Провести этот расчет.
Решение:
Поршень можно рассматривать как гармонический осциллятор. Среднее значение его потенциальной энергии при смещении из положения равновесия на $x$ равно $\frac{1}{2} \xi \overline{x^{2}} = \frac{1}{2} kT$, где $\xi$ - модуль упругости, соответствующий такому смещению. Очевидно, $\Delta V = Sx$, где $\Delta V$ - изменение объема системы, a $S$ - площадь поршня. Таким образом, $\overline{ \Delta V^{2}} = \frac{S^{2}kT}{ \xi}$. Сила, возвращающая поршень в положение равновесия, $F = S \frac{ \partial P}{ \partial x} x$, а потому
$\xi = - S \frac{ \partial P}{ \partial x} = - S^{2} \frac{ \partial P}{ \partial V}$.
В результате получим
$\overline{ ( \Delta V^{2} )_{T} } = - \frac{kT}{ \left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{T} } = - kT \left ( \frac{ \partial P}{ \partial V} \right )_{T}$. (1)
Значок $T$ поставлен потому, что в выводе предполагалось постоянство температуры окружающей среды (термостата). Если бы вещество внутри объема $V$ было адиабатически изолировано, то, как следует из вывода, значок $T$ следовало бы заменить на $S$ (постоянство энтропии) и написать
$( \overline{ \Delta V^{2} } )_{S} = -kT \left ( \frac{ \partial V}{ \partial P} \right )_{S}$. (2)
