Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14104
2020-04-16 
Получить распределение Гаусса из формулы Больцмана $S = k ln P$, используя термодинамическое выражение для энтропии идеального газа.
Решение:
До флуктуации, когда состояние всего газа было равновесным, его энтропия определялась выражением
$S_{0} = Nc_{v} ln T + Nk ln \frac{V}{N}$,
где $c_{v}$ - теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу газа. После флуктуации, когда в объеме $v$ стало $n$ частиц, энтропия газа будет
$S = N c_{v} ln T + k(N - n) ln \frac{V - v}{N -n} + kn \frac{v}{n}$.
Вычтем отсюда предыдущее выражение, пренебрегая при этом членами второй степени по $\frac{v}{V}$ и $\frac{n}{N}$. Получим приращение энтропии газа в результате флуктуации:
$\Delta S = k ln \left [ \left ( \frac{ \bar{n} }{n} \right )^{n} e^{n - \bar{n} } \right ]$.
По формуле Больцмана
$\Delta S = k ln \frac{P}{P_{0} }$,
и для искомой вероятности находим
$P_{n} = P_{0} \left ( \frac{ \bar{n} }{n} \right )^{n} e^{n - bar{n} }$.
Переход к распределению Гаусса производится так же, как переход от формулы $P_{n} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi n} } \left ( \frac{ \bar{n} }{n} \right )e^{(n - \bar{n} )}$ к формуле $P_{n} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \bar{n} } } e^{ - \frac{ (n - \bar{n} )^{2} }{2 \bar{n} } } $. Выполнив этот переход, затем можно определить постоянную $P_{0}$ из условия нормировки $\sum P_{n} = 1$.
Получить распределение Гаусса из формулы Больцмана $S = k ln P$, используя термодинамическое выражение для энтропии идеального газа.
Решение:
До флуктуации, когда состояние всего газа было равновесным, его энтропия определялась выражением
$S_{0} = Nc_{v} ln T + Nk ln \frac{V}{N}$,
где $c_{v}$ - теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу газа. После флуктуации, когда в объеме $v$ стало $n$ частиц, энтропия газа будет
$S = N c_{v} ln T + k(N - n) ln \frac{V - v}{N -n} + kn \frac{v}{n}$.
Вычтем отсюда предыдущее выражение, пренебрегая при этом членами второй степени по $\frac{v}{V}$ и $\frac{n}{N}$. Получим приращение энтропии газа в результате флуктуации:
$\Delta S = k ln \left [ \left ( \frac{ \bar{n} }{n} \right )^{n} e^{n - \bar{n} } \right ]$.
По формуле Больцмана
$\Delta S = k ln \frac{P}{P_{0} }$,
и для искомой вероятности находим
$P_{n} = P_{0} \left ( \frac{ \bar{n} }{n} \right )^{n} e^{n - bar{n} }$.
Переход к распределению Гаусса производится так же, как переход от формулы $P_{n} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi n} } \left ( \frac{ \bar{n} }{n} \right )e^{(n - \bar{n} )}$ к формуле $P_{n} = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi \bar{n} } } e^{ - \frac{ (n - \bar{n} )^{2} }{2 \bar{n} } } $. Выполнив этот переход, затем можно определить постоянную $P_{0}$ из условия нормировки $\sum P_{n} = 1$.
