Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14103
2020-04-16 
Решить задачу 14102, используя формулу Больцмана $S = k ln P$ и термодинамическое выражение для энтропии идеального газа. Сравнить результат с предыдущим решением и объяснить расхождение.
Решение:
В термодинамике энтропия $N$ молекул идеального газа выражается формулой
$S = N \left ( c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N} + s_{0} \right )$,
где $c_{v}$ - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, приходящаяся на одну молекулу, a $s_{0}$ - постоянная, не зависящая от числа частиц. В начальном состоянии энтропия системы
$S_{0} = 2N \left ( c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N} + s_{0} \right )$;
в конечном состоянии
$S = (N - n) \left ( c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N - n} + s_{0} \right ) + (N - n) \left (c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N + n} + s_{0} \right )$.
Отсюда
$S_{0} - S = k (N - n) ln (N - n) + k (N + n) ln (N + n) - 2kN ln N$,
или с учетом соотношения $\frac{n}{N} \ll 1$:
$S_{0} - S = \frac{2kn^{2}}{N}$.
По формуле Больцмана
$S_{0} - S = k ln \frac{P_{0}}{P} = k ln \alpha$.
Это дает $\frac{2n^{2}}{N} = ln \alpha$, откуда $n = \sqrt{2N ln \alpha}$.
Расхождение с решением 14102 объясняется следующим образом. В решении 14102 принимаются во внимание всевозможные распределения молекул по объемам первого и второго сосудов с заданными числами заполнения. Во втором решении используется термодинамическое выражение для энтропии газа. Тем самым предполагается, что молекулы газа распределены по объему каждого сосуда равномерно или приблизительно равномерно. Сильно неравновесные состояния с неравномерным распределением молекул по объемам сосудов во внимание не принимаются. С этим и связано обсуждаемое расхождение.
Решить задачу 14102, используя формулу Больцмана $S = k ln P$ и термодинамическое выражение для энтропии идеального газа. Сравнить результат с предыдущим решением и объяснить расхождение.
Решение:
В термодинамике энтропия $N$ молекул идеального газа выражается формулой
$S = N \left ( c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N} + s_{0} \right )$,
где $c_{v}$ - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, приходящаяся на одну молекулу, a $s_{0}$ - постоянная, не зависящая от числа частиц. В начальном состоянии энтропия системы
$S_{0} = 2N \left ( c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N} + s_{0} \right )$;
в конечном состоянии
$S = (N - n) \left ( c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N - n} + s_{0} \right ) + (N - n) \left (c_{v} ln T + k ln \frac{V}{N + n} + s_{0} \right )$.
Отсюда
$S_{0} - S = k (N - n) ln (N - n) + k (N + n) ln (N + n) - 2kN ln N$,
или с учетом соотношения $\frac{n}{N} \ll 1$:
$S_{0} - S = \frac{2kn^{2}}{N}$.
По формуле Больцмана
$S_{0} - S = k ln \frac{P_{0}}{P} = k ln \alpha$.
Это дает $\frac{2n^{2}}{N} = ln \alpha$, откуда $n = \sqrt{2N ln \alpha}$.
Расхождение с решением 14102 объясняется следующим образом. В решении 14102 принимаются во внимание всевозможные распределения молекул по объемам первого и второго сосудов с заданными числами заполнения. Во втором решении используется термодинамическое выражение для энтропии газа. Тем самым предполагается, что молекулы газа распределены по объему каждого сосуда равномерно или приблизительно равномерно. Сильно неравновесные состояния с неравномерным распределением молекул по объемам сосудов во внимание не принимаются. С этим и связано обсуждаемое расхождение.
