Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14101
2020-04-16 
Сосуд с $N$ молекулами идеального газа разделен перегородкой на две части с объемами $V_{1}$ и $V_{2}$. Найти вероятность того, что в первой части будет содержаться $N_{1}$ а во второй $N_{2}$ молекул.
Решение:
Возьмем какое-либо распределение, в котором объем $V_{1}$ содержит $N_{1}$, а объем $V_{2} - N_{2}$ молекул. Зафиксировав положения всех молекул, произведем затем всевозможные перестановки их. Так как при таких перестановках числа молекул $N_{1}$ и $N_{2}$ в объемах $V_{1}$ и $V_{2}$ не меняются, то в результате получатся всевозможные комбинации молекул с требуемыми числами $N_{1}$ и $N_{2}$. Число таких комбинаций равно $N!$. Среди них будут и такие комбинации, которые получаются одна из другой в результате перестановки молекул либо в пределах только объема $V_{1}$, либо в пределах только объема $V_{2}$. Такие перестановки не приводят к новым распределениям молекул по объемам $V_{1}$ и $V_{2}$. Число перестановок в пределах первого объема равно $N_{1}!$, а в пределах второго $N_{2}!$. Разделив полное число перестановок $N!$ на $N_{1}!N_{2}!$, мы получим число $z$ всех распределений молекул $N$ по объемам $V_{1}$ и $V_{2}$ с требуемыми числами заполнения $N_{1}$ и $N_{2}$: $z = \frac{N!}{N_{1}!N_{2}! }$. В случае идеального газа все эти $z$ распределений равновероятны. Найдем вероятность одного распределения. Вероятность того, что определенная молекула попадает в объем $V_{1}$, равна $p = \frac{V_{1}}{V_{1} + V{2}}$, а в объем $V_{2} - q = \frac{V_{2}}{V_{1} + V_{2}}$. Вероятность того, что $N_{1}$ фиксированных молекул попадут в объем $V_{1}$ а остальные $N_{2}$ молекул -в объем $V_{2}$, будет $p^{N_{1} }q^{N_{2}}$. Умножив ее на число распределений $z$, найдем
$P = \frac{N!}{N_{1}!N_{2}! } p^{N_{1} }q^{N_{2} }$. (1)
Это и есть Математическая вероятность того, что числа молекул (безразлично каких) в объемах $V_{1}$ и $V_{2}$ будут равны соответственно $N_{1}$ и $N_{2}$.
Сосуд с $N$ молекулами идеального газа разделен перегородкой на две части с объемами $V_{1}$ и $V_{2}$. Найти вероятность того, что в первой части будет содержаться $N_{1}$ а во второй $N_{2}$ молекул.
Решение:
Возьмем какое-либо распределение, в котором объем $V_{1}$ содержит $N_{1}$, а объем $V_{2} - N_{2}$ молекул. Зафиксировав положения всех молекул, произведем затем всевозможные перестановки их. Так как при таких перестановках числа молекул $N_{1}$ и $N_{2}$ в объемах $V_{1}$ и $V_{2}$ не меняются, то в результате получатся всевозможные комбинации молекул с требуемыми числами $N_{1}$ и $N_{2}$. Число таких комбинаций равно $N!$. Среди них будут и такие комбинации, которые получаются одна из другой в результате перестановки молекул либо в пределах только объема $V_{1}$, либо в пределах только объема $V_{2}$. Такие перестановки не приводят к новым распределениям молекул по объемам $V_{1}$ и $V_{2}$. Число перестановок в пределах первого объема равно $N_{1}!$, а в пределах второго $N_{2}!$. Разделив полное число перестановок $N!$ на $N_{1}!N_{2}!$, мы получим число $z$ всех распределений молекул $N$ по объемам $V_{1}$ и $V_{2}$ с требуемыми числами заполнения $N_{1}$ и $N_{2}$: $z = \frac{N!}{N_{1}!N_{2}! }$. В случае идеального газа все эти $z$ распределений равновероятны. Найдем вероятность одного распределения. Вероятность того, что определенная молекула попадает в объем $V_{1}$, равна $p = \frac{V_{1}}{V_{1} + V{2}}$, а в объем $V_{2} - q = \frac{V_{2}}{V_{1} + V_{2}}$. Вероятность того, что $N_{1}$ фиксированных молекул попадут в объем $V_{1}$ а остальные $N_{2}$ молекул -в объем $V_{2}$, будет $p^{N_{1} }q^{N_{2}}$. Умножив ее на число распределений $z$, найдем
$P = \frac{N!}{N_{1}!N_{2}! } p^{N_{1} }q^{N_{2} }$. (1)
Это и есть Математическая вероятность того, что числа молекул (безразлично каких) в объемах $V_{1}$ и $V_{2}$ будут равны соответственно $N_{1}$ и $N_{2}$.
