Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14100
2020-04-16 
В закрытом сосуде объема $V$ в отсутствие силовых полей находятся N молекул идеального газа. Определить среднее число молекул и его флуктуации в объеме $v$, являющемся малой частью объема $V$.
Решение:
Если объем $V$ разбить на $z = \frac{V}{v}$ равных объемов $v_{i} = v$, то $N = \sum n_{i}$, где $n_{i}$ - число молекул в $i$-м объеме, а суммирование ведется по всем таким объемам. Так как величины всех объемов $v_{i}$ одинаковы, то средние числа молекул в них $\bar{n}_{i}$ также одинаковы. Поэтому $N = \overline{zn}$, т. е. $\bar{n} = Np$, где $p = \frac{v}{V}$ - вероятность нахождения молекулы в объеме $v$.
Определим далее величины $f_{i}$ следующим образом: $f_{i} = 1$, если $i$-я молекула находится внутри объема $v$, и $f_{i} = 0$, если $i$-я молекула находится в оставшемся объеме $V-v$. Тогда число молекул $n$ в объеме $v$ можно представить в виде $n = \sim f_{i}$, предполагая, что суммирование ведется по всем $N$ молекулам объема $V$. Ясно, что функции $f_{i}$ удовлетворяют условию $f_{i} = f_{i}^{2} = f_{i}^{2} = \cdots$. Далее, очевидно $\overline{f_{i}} = \overline{f_{i}^{2}} = \overline{f_{i}^{3}} = \cdots = p$. Поэтому по формуле $\overline{ \Delta f^{2} } = \overline{f^{2}} - \bar{f}^{2}$
$\overline{f_{i}} = \overline{f_{i}^{2} } - \bar{f}_{i}^{2} = p - p^{2} = p(1- p)$.
А так как в случае идеального газа величины $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \cdots$ статистически независимы, то по формуле $\overline{ \Delta F^{2}} = \overline{F^{2}} - \bar{F}^{2} = N( \overline{f^{2} } - \bar{f}^{2})$
$\overline{ \Delta n^{2}} = Np(1 - p) = (1-p) \bar{n}$. (1)
Если $v \ll V$, то $p \ll 1$. Пренебрегая вероятностью $p$ по сравнению с единицей, получим поэтому
$\overline{ \Delta n^{2}} = \bar{n}$. (2)
В закрытом сосуде объема $V$ в отсутствие силовых полей находятся N молекул идеального газа. Определить среднее число молекул и его флуктуации в объеме $v$, являющемся малой частью объема $V$.
Решение:
Если объем $V$ разбить на $z = \frac{V}{v}$ равных объемов $v_{i} = v$, то $N = \sum n_{i}$, где $n_{i}$ - число молекул в $i$-м объеме, а суммирование ведется по всем таким объемам. Так как величины всех объемов $v_{i}$ одинаковы, то средние числа молекул в них $\bar{n}_{i}$ также одинаковы. Поэтому $N = \overline{zn}$, т. е. $\bar{n} = Np$, где $p = \frac{v}{V}$ - вероятность нахождения молекулы в объеме $v$.
Определим далее величины $f_{i}$ следующим образом: $f_{i} = 1$, если $i$-я молекула находится внутри объема $v$, и $f_{i} = 0$, если $i$-я молекула находится в оставшемся объеме $V-v$. Тогда число молекул $n$ в объеме $v$ можно представить в виде $n = \sim f_{i}$, предполагая, что суммирование ведется по всем $N$ молекулам объема $V$. Ясно, что функции $f_{i}$ удовлетворяют условию $f_{i} = f_{i}^{2} = f_{i}^{2} = \cdots$. Далее, очевидно $\overline{f_{i}} = \overline{f_{i}^{2}} = \overline{f_{i}^{3}} = \cdots = p$. Поэтому по формуле $\overline{ \Delta f^{2} } = \overline{f^{2}} - \bar{f}^{2}$
$\overline{f_{i}} = \overline{f_{i}^{2} } - \bar{f}_{i}^{2} = p - p^{2} = p(1- p)$.
А так как в случае идеального газа величины $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \cdots$ статистически независимы, то по формуле $\overline{ \Delta F^{2}} = \overline{F^{2}} - \bar{F}^{2} = N( \overline{f^{2} } - \bar{f}^{2})$
$\overline{ \Delta n^{2}} = Np(1 - p) = (1-p) \bar{n}$. (1)
Если $v \ll V$, то $p \ll 1$. Пренебрегая вероятностью $p$ по сравнению с единицей, получим поэтому
$\overline{ \Delta n^{2}} = \bar{n}$. (2)
