2016-11-20
На горизонтальном столе находится лист бумаги, прижатый однородным стержнем массы $m$, верхний конец которого шарнирно закреплен. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к листу, чтобы его вытащить? Угол между стержнем и листом равен $\alpha$, коэффициент трения между ними $\mu$. Трением между столом и бумагой пренебречь. Рассмотреть два случая: сила направлена влево и вправо (см. рис.).
Решение:
Пусть сила $\vec{F}$, которую необходимо приложить, направлена влево. $\vec{F}_{2}$ — сила трения со стороны листа на стержень, $\vec{F}_{2}$ — сила трения,
действующая со стороны стержня на лист, $\vec{N}_{1}$ — сила реакции опоры со стороны листа на стержень. На рисунке не указаны: сила, действующая на стержень со стороны шарнира, и силы давления на лист со стороны стержня и стола.
Запишем условие равновесия стержня относительно точки О:
$N_{1}l \cos \alpha + F_{1}l \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha = 0$, (1)
через $l$ обозначена длина стержня.
Условие равновесия сил для листа бумаги в проекции на ось х:
$F - F_{2} = 0$. (2)
Поскольку мы рассматриваем экстремальный случай (минимальность силы $F$ означает то, что бумага находится на грани проскальзывания):
$F_{1} = \mu N_{1}$. (3)
Согласно третьему закону Ньютона:
$F_{1} = F_{2}$. (4)
Решая совместно систему уравнений (1—4), находим:
$F = \frac{ \mu mg}{2(1 + \mu tg \alpha)}$. (5)
Рассмотрим второй случай — сила $F$ направлена вправо. При этом силы $F_{1}$ и $F_{2}$ изменят направления на противоположные и уравнение (1) примет вид:
$N_{1} l \cos \alpha - F_{1} l \sin \alpha - mg \frac{l}{2} \cos \alpha = 0$, (1")
и уравнения (2—4) остаются в силе. Решая эту систему, находим:
$F = \frac{mg}{2 \left ( \frac{1}{ \mu} - tg \alpha \right )}$. (6)
Проанализируем полученное выражение. При $\frac{1}{ \mu} - tg \alpha = 0$ знаменатель обращается в нуль. Это означает, что для того, чтобы сдвинуть, лист необходимо приложить бесконечно большую силу $F$. При $\frac{1}{ \mu} < tg \alpha$ знаменатель отрицателен, то есть система уравнений (1", 2, 3, 4) не имеет решений, удовлетворяющих физическому смыслу. Следовательно, соотношение (3) выполняться не может, то есть сила трения не может достигнуть своего максимально возможного значения $\mu N_{1}$ и при всех значениях $F$, согласно (2), $F_{2} = F$.
Рассмотренный случай отвечает так называемому «заклиниванию». Причину этого явления молено усмотреть из (1"):
$N_{1} = F_{1} tg \alpha + \frac{mg}{2}$.
Видно, что с увеличением $F_{1}$ линейно растет и $N_{1}$ и, следовательно, растет максимально возможная сила трения $\mu N_{1}$. При этом соотношение (3) не может быть достигнуто.