2014-05-31
Самолет летит на некоторой высоте с постоянным ускорением и по горизонтальной траектории. В тот момент, когда его скорость равна $v$, с него сбрасывают бомбу. Начальная скорость бомбы относительно самолета равна нулю. Постройте траекторию падения бомбы с точки зрения земного наблюдателя и с точки зрения летчика. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Неподвижную относительно Земли систему отсчета выберем так: ось х направлена в сторону движения самолета, ось у по вертикали вверх, а начало отсчета расположено на поверхности Земли под точкой сбрасывания бомбы.
Уравнение движения бомбы в проекциях на оси этой системы координат имеет вид
$x = v_{t}, y= h_{0} – gt^{2}/2$, (1)
где $h_{0}$ - высота полета самолета. Уравнение траектории бомбы получаем путем исключения из системы (1) времени t:
$y= h_{0} - \frac{x^{2}}{2v^{2}}$.
Это уравнение параболы. Ее вершина находится в точке с координатами $x = 0, y = h_{0}$. Нисходящая ветвь параболы пересекает ось на расстоянии $x = v \sqrt{2h_{0}/g}$ от начала координат. Траектория бомбы в неподвижной системе координат показана на (рис. а).
Найдем траекторию бомбы в системе отсчета, связанной с самолетом. Ось х, как и раньше, направим в сторону движения, ось у по вертикали вверх, а начало отсчета поместим в точке, все время находящейся точно под самолетом на уровне Земли. В этой системе отсчета начальная скорость бомбы равна нулю. Ускорение бомбы относительно самолета постоянно. Горизонтальная составляющий этого ускорения направлена в сторону, противоположную ускорению самолета, и равна ему по величине, вертикальная составляющая направлена вниз и равна ускорению свободного падения g. C учетом этого нетрудно написать уравнение движения бомбы в проекциях на оси новой системы координат:
$x = -at^{2}/2, y= h_{0} – gt^{2}/2$.
Исключая из этой системы уравнений время, получаем:
$y = h_{0} + gx/a$.
Это уравнение прямой, пересекающей ось у в точке с координатой $y=h_{0}$ и ось х - в точке с координатой $x = -ah_{0}/g$. Траектория бомбы, какой ее видит наблюдатель с самолета, показана на (рис. б и в); рисунок б соответствует случаю $a > 0$, рисунок в – случаю $a < 0$.