Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14099
2020-04-16 
Пусть $F$ - какая-либо аддитивная физическая величина, характеризующая систему $N$ молекул идеального газа, так что $F = \sum f_{i}$ где величины $f_{i}$ характеризуют $i$-ю молекулу того же газа. Выразить средний квадрат флуктуации величины $F$ через средний квадрат флуктуации величины $f$, а также найти относительную флуктуацию той же величины.
Решение:
На основании определения величины $F$
$\bar{F} = \sum \bar{f}_{i} = N \bar{f}$.
(Здесь опущен индекс $i$, так как предполагается, что все молекулы газа тождественны.) Далее,
$F^{2} = ( \sum f_{i} )^{2} = \sum f_{i}^{2} + \sum \sum_{i \neq j} f_{i}f_{j}$.
В силу независимости молекул идеального газа $\bar{ f_{i}f_{j}} = \bar{f}_{i} \bar{f}_{j} = \bar{f}^{2}$. Следовательно,
$\overline{F}^{2} = N \bar{f}^{2} + N (N - 1) \bar{f}^{2}$.
Подставляя эти значения в формулу $\overline{ \Delta f^{2} } = \overline{f^{2}} - \bar{f}^{2}$, получим
$\overline{ \Delta F^{2}} = \overline{F^{2}} - \bar{F}^{2} = N( \overline{f^{2} } - \bar{f}^{2})$. (1)
Относительная флуктуация величины $F$ равна
$\frac{ \sqrt{ \overline{ \Delta F^{2} } } }{ \bar{F} } = \frac{ \sqrt{N} \sqrt{ \overline{ \Delta f^{2} } } }{N \bar{f}} = \frac{1}{ \sqrt{N} } \frac{ \sqrt{ \overline{ \Delta f^{2} } } }{ \bar{f} }$.
С увеличением $N$ относительная флуктуация величины $F$ убывает обратно пропорционально $\sqrt{N}$. При больших $N$ относительные флуктуации ничтожны. С этим связана достоверность термодинамических выводов для больших систем.
Пусть $F$ - какая-либо аддитивная физическая величина, характеризующая систему $N$ молекул идеального газа, так что $F = \sum f_{i}$ где величины $f_{i}$ характеризуют $i$-ю молекулу того же газа. Выразить средний квадрат флуктуации величины $F$ через средний квадрат флуктуации величины $f$, а также найти относительную флуктуацию той же величины.
Решение:
На основании определения величины $F$
$\bar{F} = \sum \bar{f}_{i} = N \bar{f}$.
(Здесь опущен индекс $i$, так как предполагается, что все молекулы газа тождественны.) Далее,
$F^{2} = ( \sum f_{i} )^{2} = \sum f_{i}^{2} + \sum \sum_{i \neq j} f_{i}f_{j}$.
В силу независимости молекул идеального газа $\bar{ f_{i}f_{j}} = \bar{f}_{i} \bar{f}_{j} = \bar{f}^{2}$. Следовательно,
$\overline{F}^{2} = N \bar{f}^{2} + N (N - 1) \bar{f}^{2}$.
Подставляя эти значения в формулу $\overline{ \Delta f^{2} } = \overline{f^{2}} - \bar{f}^{2}$, получим
$\overline{ \Delta F^{2}} = \overline{F^{2}} - \bar{F}^{2} = N( \overline{f^{2} } - \bar{f}^{2})$. (1)
Относительная флуктуация величины $F$ равна
$\frac{ \sqrt{ \overline{ \Delta F^{2} } } }{ \bar{F} } = \frac{ \sqrt{N} \sqrt{ \overline{ \Delta f^{2} } } }{N \bar{f}} = \frac{1}{ \sqrt{N} } \frac{ \sqrt{ \overline{ \Delta f^{2} } } }{ \bar{f} }$.
С увеличением $N$ относительная флуктуация величины $F$ убывает обратно пропорционально $\sqrt{N}$. При больших $N$ относительные флуктуации ничтожны. С этим связана достоверность термодинамических выводов для больших систем.
