Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14096
2020-04-16 
По одной из старых теорий (Гельмгольц, 1854 г.; лорд Кельвин, 1861 г.) солнечное излучение поддерживается за счет тепла, образующегося при сжатии Солнца. Предполагая, что Солнце представляет собой однородный шар, плотность вещества которого на любых расстояниях от центра одна и та же, подсчитать, какое количество тепла $Q$ образуется, если радиус Солнца уменьшится от $R_{1}$ до $R_{2}$. На сколько лет хватит выделившегося тепла, если предположить, что интенсивность солнечного излучения постоянна во времени и если радиус Солнца уменьшится на 1/10 своей первоначальной величины ($R_{2} = 0,9R_{1}$)? Масса Солнца $M = 2 \cdot 10^{33} г$, средний радиус $R_{1} = 6,95 \cdot 10^{10} см$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-8} дин \cdot см^{2}/г^{2}$, солнечная постоянная $A = 1,39 \cdot 10^{6} эрг/(с \cdot см^{2})$, среднее расстояние Земли от Солнца $1,5 \cdot 10^{13} см$. Оценить также, насколько повысилась бы температура Солнца, если бы сжатие произошло внезапно. Теплоемкость солнечного вещества можно грубо оценить, предполагая, что Солнце целиком состоит из водорода. (Это дает завышенное значение для теплоемкости. По современным данным масса Солнца состоит приблизительно на 70-80% из водорода.)
Решение:
В системе СГС:
$Q = \frac{3}{5} GM^{2} \left ( \frac{1}{R_{2} } - \frac{1}{R_{1} } \right ) = \frac{3}{5} GM^{2} \frac{R_{1} - R_{2} }{R_{1}R_{2} }$.
Если $R_{2} = 0,9R_{1}$, то
$Q = \frac{3}{50} \frac{ \gamma M^{2} }{R_{1} } = 2,3 \cdot 10^{17} эрг$.
Энергия, излучаемая Солнцем в течение одного года, составляет около $1,2 \cdot 10^{41} эрг$. Выделившегося при сжатии Солнца тепла хватит примерно на $1,9 \cdot 10^{6} лет$. Температура Солнца при внезапном сжатии его на одну десятую первоначального радиуса повысилась бы приблизительно на $4,6 \cdot 10^{5} ~^{ \circ} С$.
Решение. Рассчитаем сначала теплоту образования Солнца $W$ из бесконечно разреженной материи. Возьмем бесконечно тонкий шаровой слой с массой $dm$, центр которого совпадает с центром Солнца. Результирующая гравитационных сил, с которыми на элемент массы рассматриваемого слоя действуют все массы, находящиеся дальше него от центра Солнца, равна нулю. Массы же, расположенные ближе к центру Солнца, действуют на слой так, как если бы они были сосредоточены в центре Солнца. Если их общая масса равна $m$, то при перемещении слоя из бесконечности на расстояние $r$ от центра Солнца гравитационные силы совершат работу
$G \frac{mdm}{r} = \frac{4 \pi}{3} G \rho r^{2} dm$,
где $\rho$ - плотность Солнца. Допустим теперь, что процесс образования Солнца из бесконечно разреженной материи закончился. Тогда $dm = 4 \pi r^{2} \rho dr$, и для теплоты образования мы получаем
$W(R) = \int_{0}^{R} \frac{4 \pi}{3} G \rho r^{2} 4 \pi r^{2} 4 \pi r^{2} \rho dr = \frac{16}{15} \pi^{2} G \rho^{2} R^{5} = \frac{3}{5} G \frac{M^{2} }{R}$,
где $R$ - радиус Солнца. Аналогично для тепла $Q$, получившегося при уменьшении радиуса Солнца, получаем
$Q = W(R_{2}) - W(R_{1})$.
Если бы Солнце состояло только из водорода, то, разумеется, водород был бы не только диссоциирован, но и полностью ионизован. Таким образом, на каждый грамм массы Солнца приходилось бы $2N$ частиц: $N$ электронов и $N$ протонов. Средняя кинетическая энергия их теплового движения $2N \cdot \frac{3}{2} kT = 3RT$. Значит, удельная теплоемкость солнечного вещества в этом случае была бы равна $c_{v} = 3R \approx 6 кал/(г \cdot^{ \circ} С)$.
Из приведенных вычислений следует, что теория Гельмгольца - Кельвина несостоятельна. Излучение звезд происходит за счет энергии ядерных реакций внутри звезд. Гравитационное сжатие становится основным источником энергии лишь на поздних этапах эволюции звезд (белые карлики, нейтронные звезды, или пульсары, коллапсары, или "черные дыры").
По одной из старых теорий (Гельмгольц, 1854 г.; лорд Кельвин, 1861 г.) солнечное излучение поддерживается за счет тепла, образующегося при сжатии Солнца. Предполагая, что Солнце представляет собой однородный шар, плотность вещества которого на любых расстояниях от центра одна и та же, подсчитать, какое количество тепла $Q$ образуется, если радиус Солнца уменьшится от $R_{1}$ до $R_{2}$. На сколько лет хватит выделившегося тепла, если предположить, что интенсивность солнечного излучения постоянна во времени и если радиус Солнца уменьшится на 1/10 своей первоначальной величины ($R_{2} = 0,9R_{1}$)? Масса Солнца $M = 2 \cdot 10^{33} г$, средний радиус $R_{1} = 6,95 \cdot 10^{10} см$, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-8} дин \cdot см^{2}/г^{2}$, солнечная постоянная $A = 1,39 \cdot 10^{6} эрг/(с \cdot см^{2})$, среднее расстояние Земли от Солнца $1,5 \cdot 10^{13} см$. Оценить также, насколько повысилась бы температура Солнца, если бы сжатие произошло внезапно. Теплоемкость солнечного вещества можно грубо оценить, предполагая, что Солнце целиком состоит из водорода. (Это дает завышенное значение для теплоемкости. По современным данным масса Солнца состоит приблизительно на 70-80% из водорода.)
Решение:
В системе СГС:
$Q = \frac{3}{5} GM^{2} \left ( \frac{1}{R_{2} } - \frac{1}{R_{1} } \right ) = \frac{3}{5} GM^{2} \frac{R_{1} - R_{2} }{R_{1}R_{2} }$.
Если $R_{2} = 0,9R_{1}$, то
$Q = \frac{3}{50} \frac{ \gamma M^{2} }{R_{1} } = 2,3 \cdot 10^{17} эрг$.
Энергия, излучаемая Солнцем в течение одного года, составляет около $1,2 \cdot 10^{41} эрг$. Выделившегося при сжатии Солнца тепла хватит примерно на $1,9 \cdot 10^{6} лет$. Температура Солнца при внезапном сжатии его на одну десятую первоначального радиуса повысилась бы приблизительно на $4,6 \cdot 10^{5} ~^{ \circ} С$.
Решение. Рассчитаем сначала теплоту образования Солнца $W$ из бесконечно разреженной материи. Возьмем бесконечно тонкий шаровой слой с массой $dm$, центр которого совпадает с центром Солнца. Результирующая гравитационных сил, с которыми на элемент массы рассматриваемого слоя действуют все массы, находящиеся дальше него от центра Солнца, равна нулю. Массы же, расположенные ближе к центру Солнца, действуют на слой так, как если бы они были сосредоточены в центре Солнца. Если их общая масса равна $m$, то при перемещении слоя из бесконечности на расстояние $r$ от центра Солнца гравитационные силы совершат работу
$G \frac{mdm}{r} = \frac{4 \pi}{3} G \rho r^{2} dm$,
где $\rho$ - плотность Солнца. Допустим теперь, что процесс образования Солнца из бесконечно разреженной материи закончился. Тогда $dm = 4 \pi r^{2} \rho dr$, и для теплоты образования мы получаем
$W(R) = \int_{0}^{R} \frac{4 \pi}{3} G \rho r^{2} 4 \pi r^{2} 4 \pi r^{2} \rho dr = \frac{16}{15} \pi^{2} G \rho^{2} R^{5} = \frac{3}{5} G \frac{M^{2} }{R}$,
где $R$ - радиус Солнца. Аналогично для тепла $Q$, получившегося при уменьшении радиуса Солнца, получаем
$Q = W(R_{2}) - W(R_{1})$.
Если бы Солнце состояло только из водорода, то, разумеется, водород был бы не только диссоциирован, но и полностью ионизован. Таким образом, на каждый грамм массы Солнца приходилось бы $2N$ частиц: $N$ электронов и $N$ протонов. Средняя кинетическая энергия их теплового движения $2N \cdot \frac{3}{2} kT = 3RT$. Значит, удельная теплоемкость солнечного вещества в этом случае была бы равна $c_{v} = 3R \approx 6 кал/(г \cdot^{ \circ} С)$.
Из приведенных вычислений следует, что теория Гельмгольца - Кельвина несостоятельна. Излучение звезд происходит за счет энергии ядерных реакций внутри звезд. Гравитационное сжатие становится основным источником энергии лишь на поздних этапах эволюции звезд (белые карлики, нейтронные звезды, или пульсары, коллапсары, или "черные дыры").
