Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14095
2020-04-16 
Скорость рассеяния планетной атмосферы в мировое пространство можно характеризовать временем рассеяния атмосферы $\tau$. Так называют время, по истечении которого число частиц в атмосфере убывает в $e$ раз. Оценить время рассеяния планетной атмосферы $\tau$, предполагая, что атмосфера изотермическая и состоит из одинаковых частиц. Атмосферу считать бесконечно разреженной. В этих условиях взаимными столкновениями молекул можно пренебречь - максвелловское распределение скоростей устанавливается в результате столкновений молекул с поверхностью планеты. Молекулы выбывают из атмосферы и улетают в межпланетное пространство, если в результате столкновений с поверхностью планеты они получают скорости, превышающие вторую космическую скорость. (В проблеме рассеяния планетных атмосфер вторая космическая скорость называется скоростью убегания $v_{уб}$.) Найти время $\tau$ для атомарного и молекулярного водорода земной атмосферы, предполагая, что температура последней $T = 300 К$.
Решение:
Так как процесс рассеяния атмосферы очень медленный, то можно считать, что к изотермической атмосфере применимо распределение Максвелла-Больцмана. Тогда число молекул, покидающих планетную атмосферу в единицу времени, представится выражением
$- \frac{dN}{dt} = \frac{S \bar{v} n}{4} \int_{v_{уб} }^{ \infty} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} 4 \pi v^{2} e^{- \frac{mv^{2} }{2kT} } dv$,
где $S$ - площадь поверхности планеты, $n$ - концентрация молекул у ее поверхности, $v_{уб}$ - скорость убегания, $\bar{v}$ - средняя скорость убегающих молекул:
$\bar{v} = \frac{ \int_{v_{уб} }^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv }{ \int_{v_{уб} }^{ \infty} v^{2} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv }$.
Полное число молекул $N$ в атмосфере можно определить, пренебрегая кривизной поверхности планеты. По формуле Больцмана
$N = Sn \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mgh}{kT}} dh = \frac{kT}{mg} Sn$,
где $g$ - ускорение свободного падения на поверхности планеты. Используя написанные соотношения и выполнив простое интегрирование, получим
$\frac{dN}{dt} = - \frac{N}{ \tau}$,
где
$\tau = \left ( \frac{2 \pi kT}{m} \right )^{1/2} \frac{e^{x_{уб}^{2} } }{g(x_{уб}^{2} + 1 ) }, x_{уб} = \frac{v_{уб} }{ \sqrt{ \frac{2kT}{m} } }$.
Время $\tau$ и есть время рассеяния атмосферы планеты. Для Земли $g = 980 см/с^{2}, v_{уб} = 11,2 км/с$. Используя эти данные, получаем для атомарного водорода $\tau \approx 27$ лет, а для молекулярного водорода $\tau \approx 2 \cdot 10^{12}$ лет (при $T = 300 К$).
Скорость рассеяния планетной атмосферы в мировое пространство можно характеризовать временем рассеяния атмосферы $\tau$. Так называют время, по истечении которого число частиц в атмосфере убывает в $e$ раз. Оценить время рассеяния планетной атмосферы $\tau$, предполагая, что атмосфера изотермическая и состоит из одинаковых частиц. Атмосферу считать бесконечно разреженной. В этих условиях взаимными столкновениями молекул можно пренебречь - максвелловское распределение скоростей устанавливается в результате столкновений молекул с поверхностью планеты. Молекулы выбывают из атмосферы и улетают в межпланетное пространство, если в результате столкновений с поверхностью планеты они получают скорости, превышающие вторую космическую скорость. (В проблеме рассеяния планетных атмосфер вторая космическая скорость называется скоростью убегания $v_{уб}$.) Найти время $\tau$ для атомарного и молекулярного водорода земной атмосферы, предполагая, что температура последней $T = 300 К$.
Решение:
Так как процесс рассеяния атмосферы очень медленный, то можно считать, что к изотермической атмосфере применимо распределение Максвелла-Больцмана. Тогда число молекул, покидающих планетную атмосферу в единицу времени, представится выражением
$- \frac{dN}{dt} = \frac{S \bar{v} n}{4} \int_{v_{уб} }^{ \infty} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} 4 \pi v^{2} e^{- \frac{mv^{2} }{2kT} } dv$,
где $S$ - площадь поверхности планеты, $n$ - концентрация молекул у ее поверхности, $v_{уб}$ - скорость убегания, $\bar{v}$ - средняя скорость убегающих молекул:
$\bar{v} = \frac{ \int_{v_{уб} }^{ \infty} v^{3} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv }{ \int_{v_{уб} }^{ \infty} v^{2} e^{ - \frac{mv^{2} }{2kT} } dv }$.
Полное число молекул $N$ в атмосфере можно определить, пренебрегая кривизной поверхности планеты. По формуле Больцмана
$N = Sn \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{mgh}{kT}} dh = \frac{kT}{mg} Sn$,
где $g$ - ускорение свободного падения на поверхности планеты. Используя написанные соотношения и выполнив простое интегрирование, получим
$\frac{dN}{dt} = - \frac{N}{ \tau}$,
где
$\tau = \left ( \frac{2 \pi kT}{m} \right )^{1/2} \frac{e^{x_{уб}^{2} } }{g(x_{уб}^{2} + 1 ) }, x_{уб} = \frac{v_{уб} }{ \sqrt{ \frac{2kT}{m} } }$.
Время $\tau$ и есть время рассеяния атмосферы планеты. Для Земли $g = 980 см/с^{2}, v_{уб} = 11,2 км/с$. Используя эти данные, получаем для атомарного водорода $\tau \approx 27$ лет, а для молекулярного водорода $\tau \approx 2 \cdot 10^{12}$ лет (при $T = 300 К$).
