Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14090
2020-04-16 
Полностью эвакуированный герметический сосуд помещен в атмосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные массы которых относятся как 1 : 4, а отношение концентраций (т. е. чисел молекул в единице объема) равно $\alpha$. Смесь газов вне сосуда поддерживается при постоянных давлении и температуре. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое оба газа стали очень медленно натекать в сосуд. Определить максимальное и минимальное значения отношения концентраций легкой и тяжелой компонент газовой смеси в сосуде и моменты времени, когда достигаются эти значения.
Решение:
Отношения концентраций легкой и тяжелой компонент внутри сосуда, найдем выражение
$\beta = \alpha \frac{1 - e^{- \frac{t}{ \tau_{1} } }}{1 - e^{ - \frac{t}{ \tau_{2} } } }$,
где индекс 1 относится к легкой, а индекс 2 - к тяжелой компонентам. Времена $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ связаны соотношением $\frac{ \tau_{2}}{ \tau_{1}} = 2$. Учитывая это, найдем, что производная $\frac{ d \beta}{dt}$ обращается в нуль, когда
$e^{- \frac{t}{ \tau_{2} }} = \sqrt{2} - 1$,
и следовательно, когда ($\beta = \alpha \sqrt{2}$. Однако этому случаю соответ-ствует не максимум и не минимум на кривой $\beta = \beta (t)$, а точка перегиба. Максимальное и минимальное значения величина $\beta$ принимает на концах временного интервала $(0, \infty)$. При $t = 0$ получается максимум $\beta_{макс} = \frac{ \alpha \tau_{2}}{ \tau_{1}} =2 \alpha$, при $t = \infty$ - минимум: $\beta_{мин} = \alpha$.
Полностью эвакуированный герметический сосуд помещен в атмосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные массы которых относятся как 1 : 4, а отношение концентраций (т. е. чисел молекул в единице объема) равно $\alpha$. Смесь газов вне сосуда поддерживается при постоянных давлении и температуре. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое оба газа стали очень медленно натекать в сосуд. Определить максимальное и минимальное значения отношения концентраций легкой и тяжелой компонент газовой смеси в сосуде и моменты времени, когда достигаются эти значения.
Решение:
Отношения концентраций легкой и тяжелой компонент внутри сосуда, найдем выражение
$\beta = \alpha \frac{1 - e^{- \frac{t}{ \tau_{1} } }}{1 - e^{ - \frac{t}{ \tau_{2} } } }$,
где индекс 1 относится к легкой, а индекс 2 - к тяжелой компонентам. Времена $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ связаны соотношением $\frac{ \tau_{2}}{ \tau_{1}} = 2$. Учитывая это, найдем, что производная $\frac{ d \beta}{dt}$ обращается в нуль, когда
$e^{- \frac{t}{ \tau_{2} }} = \sqrt{2} - 1$,
и следовательно, когда ($\beta = \alpha \sqrt{2}$. Однако этому случаю соответ-ствует не максимум и не минимум на кривой $\beta = \beta (t)$, а точка перегиба. Максимальное и минимальное значения величина $\beta$ принимает на концах временного интервала $(0, \infty)$. При $t = 0$ получается максимум $\beta_{макс} = \frac{ \alpha \tau_{2}}{ \tau_{1}} =2 \alpha$, при $t = \infty$ - минимум: $\beta_{мин} = \alpha$.
