2016-11-20
Между двумя одинаковыми досками массы $M$ каждая, шарнирно закрепленными в точке $O$, удерживается шар массы $m$. Точка касания доски и шара находится посередине доски. Угол между досками равен $2 7\alpha$. При каком минимальном значении коэффициента трения $\mu$ это возможно?
Решение:
На шар действуют силы трения $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{1}^{ \prime}$, силы реакции опоры $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{1}^{ \prime}$ и сила тяжести $m \vec{g}$.
Условие равновесия шара
$\vec{F}_{1} \vec{F}_{1}^{ \prime} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{1}^{ \prime} m \vec{g} = 0$,
где в силу симметрии:
$F_{1} = F_{1}^{ \prime}$ и $N_{1} = N_{1}^{ \prime}$.
Проецируя второе равенство на ось х, получаем:
$2F_{1} \cos \alpha - 2N_{1} \sin \alpha - mg = 0$ (1)
Запишем условие равновесия доски относительно точки $O^{ \prime}$. Силы, дающие ненулевой момент относительно точки $O^{ \prime}$ — сила тяжести $Mg$ и сила реакции опоры $N_{2}$. Моменты двух других сил — силы трения со стороны шара и шарнира равны нулю. Итак, имеем:
$Mg \frac{l}{2} \sin \alpha - \frac{l}{2} N_{2} = 0$. (2)
В силу третьего закона Ньютона:
$N_{1} = N_{2}$.
Поскольку речь идет о минимальном коэффициенте трения, полагаем, что шар и доски находятся на грани проскальзывания, то есть:
$F_{1} = \mu N_{1}$. (4)
Решая совместно систему уравнений (1—4), получим:
$\mu = \frac{m}{M} \frac{1}{ \sin 2 \alpha} + \frac{1}{ \cos \alpha}$.
В заключение обратим внимание на то, что мы не проецировали первое условие равновесия шара, записанное в векторном виде, на ось у (и даже не изобразили эту ось на рисунке), а также не использовали первого условия равновесия (сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю) для доски. Разумеется, запись соответствующих уравнений ничего нового к решению задачи не добавила бы.