Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14089
2020-04-16 
Сосуд разделен перегородкой на две равные части объемом $V$ каждая. В одной части находится азот, а в другой кислород при одинаковых давлениях $P$ и температурах $T$. Газы в сосуде сильно разрежены (средняя длина свободного пробега велика по сравнению с размерами сосуда). В момент $t = 0$ в перегородке открывается небольшое отверстие площади $S$. Найти давление в обеих частях сосуда в зависимости от времени. Температуру газа во все время процесса считать неизменной. Результат выразить через средние скорости молекул азота и кислорода $\bar{v}_{a}$ и $\bar{v}_{к}$.
Решение:
Уравнения баланса для молекул азота:
$\frac{dN_{a}^{(1)}}{dt} = - \frac{1}{4} \frac{S \bar{v}_{a} }{V} (N_{a}^{(1)} - N_{A}^{(2)} )$,
$\frac{dN_{a}^{(2)}}{dt} = - \frac{1}{4} \frac{S \bar{v}_{a} }{V} (N_{a}^{(2)} - N_{A}^{(1)} )$,
где $N_{a}^{(1)}$ и $N_{a}^{(2)}$ - числа молекул азота в первой и во второй половинах сосуда. Так как $N_{a}^{(1)} + N_{a}^{(2)} = N_{a} = const$, то первое уравнение приводится к виду
$\frac{dN_{a}^{(1)}}{dt} = - \frac{S \bar{v}_{a}}{2V} \left (N_{a}^{(1)} - \frac{N_{a} }{2} \right )$.
Интегрируя его с использованием начального условия $N_{a}^{(1)} = N_{a}$ при $t = 0$, а затем определяя $N_{a}^{(2)}$ из соотношения $N_{a}^{(2)} = N_{a} - N_{a}^{(1)}$ получим
$N_{a}^{(1)} = \frac{N_{a} }{2} \left ( 1 + e^{ - \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } \right )$,
$N_{a}^{(2)} = \frac{N_{a} }{2} \left ( 1 - e^{ - \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } \right )$.
Аналогично, для молекул кислорода:
$N_{к}^{(1)} = \frac{N_{к} }{2} \left ( 1 + e^{ - \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } \right )$,
$N_{к}^{(2)} = \frac{N_{к} }{2} \left ( 1 + e^{ - \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } \right )$,
Так как начальные значения давления в обоих сосудах одинаковы, то $N_{a} = N_{к} = N$. Давление в первой половине сосуда:
$P_{1} = \frac{1}{V} \{ N_{a}^{(1)} + N_{к}^{(1)} \} kT = P \left [1 + \frac{1}{2} \left ( e^{- \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } - e^{- \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } \right ) \right ]$.
Давление во второй половине сосуда:
$P_{2} = P \left [1 + \frac{1}{2} \left ( e^{- \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } - e^{- \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } \right ) \right ]$.
При $t = 0$ и $t = \infty$ из последних двух уравнений следует $P_{1} = P_{2} = P$, как это и должно быть.
Сосуд разделен перегородкой на две равные части объемом $V$ каждая. В одной части находится азот, а в другой кислород при одинаковых давлениях $P$ и температурах $T$. Газы в сосуде сильно разрежены (средняя длина свободного пробега велика по сравнению с размерами сосуда). В момент $t = 0$ в перегородке открывается небольшое отверстие площади $S$. Найти давление в обеих частях сосуда в зависимости от времени. Температуру газа во все время процесса считать неизменной. Результат выразить через средние скорости молекул азота и кислорода $\bar{v}_{a}$ и $\bar{v}_{к}$.
Решение:
Уравнения баланса для молекул азота:
$\frac{dN_{a}^{(1)}}{dt} = - \frac{1}{4} \frac{S \bar{v}_{a} }{V} (N_{a}^{(1)} - N_{A}^{(2)} )$,
$\frac{dN_{a}^{(2)}}{dt} = - \frac{1}{4} \frac{S \bar{v}_{a} }{V} (N_{a}^{(2)} - N_{A}^{(1)} )$,
где $N_{a}^{(1)}$ и $N_{a}^{(2)}$ - числа молекул азота в первой и во второй половинах сосуда. Так как $N_{a}^{(1)} + N_{a}^{(2)} = N_{a} = const$, то первое уравнение приводится к виду
$\frac{dN_{a}^{(1)}}{dt} = - \frac{S \bar{v}_{a}}{2V} \left (N_{a}^{(1)} - \frac{N_{a} }{2} \right )$.
Интегрируя его с использованием начального условия $N_{a}^{(1)} = N_{a}$ при $t = 0$, а затем определяя $N_{a}^{(2)}$ из соотношения $N_{a}^{(2)} = N_{a} - N_{a}^{(1)}$ получим
$N_{a}^{(1)} = \frac{N_{a} }{2} \left ( 1 + e^{ - \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } \right )$,
$N_{a}^{(2)} = \frac{N_{a} }{2} \left ( 1 - e^{ - \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } \right )$.
Аналогично, для молекул кислорода:
$N_{к}^{(1)} = \frac{N_{к} }{2} \left ( 1 + e^{ - \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } \right )$,
$N_{к}^{(2)} = \frac{N_{к} }{2} \left ( 1 + e^{ - \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } \right )$,
Так как начальные значения давления в обоих сосудах одинаковы, то $N_{a} = N_{к} = N$. Давление в первой половине сосуда:
$P_{1} = \frac{1}{V} \{ N_{a}^{(1)} + N_{к}^{(1)} \} kT = P \left [1 + \frac{1}{2} \left ( e^{- \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } - e^{- \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } \right ) \right ]$.
Давление во второй половине сосуда:
$P_{2} = P \left [1 + \frac{1}{2} \left ( e^{- \frac{S \bar{v}_{к} }{2V} t } - e^{- \frac{S \bar{v}_{a} }{2V} t } \right ) \right ]$.
При $t = 0$ и $t = \infty$ из последних двух уравнений следует $P_{1} = P_{2} = P$, как это и должно быть.
